Theorem resdif 5841

Description: The restriction of a one-to-one onto function to a difference maps onto the difference of the images. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
resdif

Proof of Theorem resdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5801	. . . . . 6
2		difss 3630	. . . . . . 7
3		fof 5800	. . . . . . . 8
4		fdm 5740	. . . . . . . 8
5	3, 4	syl 16	. . . . . . 7
6	2, 5	syl5sseqr 3552	. . . . . 6
7		fores 5809	. . . . . 6
8	1, 6, 7	syl2anc 661	. . . . 5
9		resres 5291	. . . . . . . 8
10		indif 3739	. . . . . . . . 9
11	10	reseq2i 5275	. . . . . . . 8
12	9, 11	eqtri 2486	. . . . . . 7
13		foeq1 5796	. . . . . . 7
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6
15	12	rneqi 5234	. . . . . . . 8
16		df-ima 5017	. . . . . . . 8
17		df-ima 5017	. . . . . . . 8
18	15, 16, 17	3eqtr4i 2496	. . . . . . 7
19		foeq3 5798	. . . . . . 7
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6
21	14, 20	bitri 249	. . . . 5
22	8, 21	sylib 196	. . . 4
23		funres11 5661	. . . 4
24		dff1o3 5827	. . . . 5
25	24	biimpri 206	. . . 4
26	22, 23, 25	syl2anr 478	. . 3
27	26	3adant3 1016	. 2
28		df-ima 5017	. . . . . . 7
29		forn 5803	. . . . . . 7
30	28, 29	syl5eq 2510	. . . . . 6
31		df-ima 5017	. . . . . . 7
32		forn 5803	. . . . . . 7
33	31, 32	syl5eq 2510	. . . . . 6
34	30, 33	anim12i 566	. . . . 5
35		imadif 5668	. . . . . 6
36		difeq12 3616	. . . . . 6
37	35, 36	sylan9eq 2518	. . . . 5
38	34, 37	sylan2 474	. . . 4
39	38	3impb 1192	. . 3
40		f1oeq3 5814	. . 3
41	39, 40	syl 16	. 2
42	27, 41	mpbid 210	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592

This theorem is referenced by:  resin  5842  canthp1lem2  9052  subfacp1lem3  28626  subfacp1lem5  28628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600