MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resdif Unicode version

Theorem resdif 5841
Description: The restriction of a one-to-one onto function to a difference maps onto the difference of the images. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
resdif

Proof of Theorem resdif
StepHypRef Expression
1 fofun 5801 . . . . . 6
2 difss 3630 . . . . . . 7
3 fof 5800 . . . . . . . 8
4 fdm 5740 . . . . . . . 8
53, 4syl 16 . . . . . . 7
62, 5syl5sseqr 3552 . . . . . 6
7 fores 5809 . . . . . 6
81, 6, 7syl2anc 661 . . . . 5
9 resres 5291 . . . . . . . 8
10 indif 3739 . . . . . . . . 9
1110reseq2i 5275 . . . . . . . 8
129, 11eqtri 2486 . . . . . . 7
13 foeq1 5796 . . . . . . 7
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6
1512rneqi 5234 . . . . . . . 8
16 df-ima 5017 . . . . . . . 8
17 df-ima 5017 . . . . . . . 8
1815, 16, 173eqtr4i 2496 . . . . . . 7
19 foeq3 5798 . . . . . . 7
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6
2114, 20bitri 249 . . . . 5
228, 21sylib 196 . . . 4
23 funres11 5661 . . . 4
24 dff1o3 5827 . . . . 5
2524biimpri 206 . . . 4
2622, 23, 25syl2anr 478 . . 3
27263adant3 1016 . 2
28 df-ima 5017 . . . . . . 7
29 forn 5803 . . . . . . 7
3028, 29syl5eq 2510 . . . . . 6
31 df-ima 5017 . . . . . . 7
32 forn 5803 . . . . . . 7
3331, 32syl5eq 2510 . . . . . 6
3430, 33anim12i 566 . . . . 5
35 imadif 5668 . . . . . 6
36 difeq12 3616 . . . . . 6
3735, 36sylan9eq 2518 . . . . 5
3834, 37sylan2 474 . . . 4
39383impb 1192 . . 3
40 f1oeq3 5814 . . 3
4139, 40syl 16 . 2
4227, 41mpbid 210 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592
This theorem is referenced by:  resin  5842  canthp1lem2  9052  subfacp1lem3  28626  subfacp1lem5  28628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600
  Copyright terms: Public domain W3C validator