Theorem resdmres 5503

Description: Restriction to the domain of a restriction. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
resdmres

Proof of Theorem resdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		in12 3708	. . . 4
2		df-res 5016	. . . . . 6
3		resdm2 5502	. . . . . 6
4	2, 3	eqtr3i 2488	. . . . 5
5	4	ineq2i 3696	. . . 4
6		incom 3690	. . . 4
7	1, 5, 6	3eqtri 2490	. . 3
8		df-res 5016	. . . 4
9		dmres 5299	. . . . . . 7
10	9	xpeq1i 5024	. . . . . 6
11		xpindir 5142	. . . . . 6
12	10, 11	eqtri 2486	. . . . 5
13	12	ineq2i 3696	. . . 4
14	8, 13	eqtri 2486	. . 3
15		df-res 5016	. . 3
16	7, 14, 15	3eqtr4i 2496	. 2
17		rescnvcnv 5475	. 2
18	16, 17	eqtri 2486	1

Syntax hints:  =wceq 1395  cvv 3109  i^icin 3474  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006

This theorem is referenced by:  imadmres  5504  lindfres  18858  imacmp  19897  metreslem  20865  volres  21939  uhgrares  24308  umgrares  24324  usgrares  24369  uhgres  32379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016