Theorem resfunexg 6137

Description: The restriction of a function to a set exists. Compare Proposition 6.17 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resfunexg

Proof of Theorem resfunexg

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5632	. . . . . . 7
2	1	adantr 465	. . . . . 6
3		funfn 5622	. . . . . 6
4	2, 3	sylib 196	. . . . 5
5		dffn5 5918	. . . . 5
6	4, 5	sylib 196	. . . 4
7		fvex 5881	. . . . 5
8	7	fnasrn 6077	. . . 4
9	6, 8	syl6eq 2514	. . 3
10		opex 4716	. . . . . 6
11		eqid 2457	. . . . . 6
12	10, 11	dmmpti 5715	. . . . 5
13	12	imaeq2i 5340	. . . 4
14		imadmrn 5352	. . . 4
15	13, 14	eqtr3i 2488	. . 3
16	9, 15	syl6eqr 2516	. 2
17		funmpt 5629	. . 3
18		dmresexg 5301	. . . 4
19	18	adantl 466	. . 3
20		funimaexg 5670	. . 3
21	17, 19, 20	sylancr 663	. 2
22	16, 21	eqeltrd 2545	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  <.cop 4035  e.cmpt 4510  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  resiexd  6138  fnex  6139  ofexg  6544  cofunexg  6764  dfac8alem  8431  dfac12lem1  8544  cfsmolem  8671  alephsing  8677  itunifval  8817  zorn2lem1  8897  ttukeylem3  8912  imadomg  8933  wunex2  9137  inar1  9174  axdc4uzlem  12092  hashf1rn  12425  1stf1  15461  1stf2  15462  2ndf1  15464  2ndf2  15465  1stfcl  15466  2ndfcl  15467  gsumzadd  16935  bpolylem  29810  dnnumch1  30990  aomclem6  31005  usgresvm1  32443  usgresvm1ALT  32447  dfrngc2  32780  dfringc2  32826  rngcresringcat  32838  tendo02  36513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601