MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressatans Unicode version

Theorem ressatans 20825
Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d
atansopn.s
Assertion
Ref Expression
ressatans
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   S( )

Proof of Theorem ressatans
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9098 . . 3
2 1re 9141 . . . . . . . 8
3 resqcl 11500 . . . . . . . 8
4 readdcl 9124 . . . . . . . 8
52, 3, 4sylancr 646 . . . . . . 7
65recnd 9165 . . . . . 6
7 0re 9142 . . . . . . . . . 10
87a1i 11 . . . . . . . . 9
92a1i 11 . . . . . . . . 9
10 0lt1 9601 . . . . . . . . . 10
1110a1i 11 . . . . . . . . 9
12 sqge0 11509 . . . . . . . . . 10
13 addge01 9589 . . . . . . . . . . 11
142, 3, 13sylancr 646 . . . . . . . . . 10
1512, 14mpbid 203 . . . . . . . . 9
168, 9, 5, 11, 15ltletrd 9281 . . . . . . . 8
17 ltnle 9206 . . . . . . . . 9
187, 5, 17sylancr 646 . . . . . . . 8
1916, 18mpbid 203 . . . . . . 7
20 mnfxr 10765 . . . . . . . . 9
21 elioc2 11024 . . . . . . . . 9
2220, 7, 21mp2an 655 . . . . . . . 8
2322simp3bi 975 . . . . . . 7
2419, 23nsyl 116 . . . . . 6
256, 24eldifd 3320 . . . . 5
26 atansopn.d . . . . 5
2725, 26syl6eleqr 2534 . . . 4
2827rgen 2778 . . 3
29 ssrab 3410 . . 3
301, 28, 29mpbir2an 888 . 2
31 atansopn.s . 2
3230, 31sseqtr4i 3370 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 178  /\w3a 937  =wceq 1654  e.wcel 1728  A.wral 2712  {crab 2716  \cdif 3306  C_wss 3309   class class class wbr 4243  (class class class)co 6129   cc 9039   cr 9040  0cc0 9041  1c1 9042   caddc 9044   cmnf 9169   cxr 9170   clt 9171   cle 9172  2c2 10100   cioc 10968   cexp 11433
This theorem is referenced by:  leibpi  20833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-nn 10052  df-2 10109  df-n0 10273  df-z 10334  df-uz 10540  df-ioc 10972  df-seq 11375  df-exp 11434
  Copyright terms: Public domain W3C validator