Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressuppfi Unicode version

Theorem ressuppfi 7875
 Description: If the support of the restriction of a function by a set which, subtracted from the domain of the function so that its difference is finite, the support of the function itself is finite. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ressuppfi.b
ressuppfi.f
ressuppfi.g
ressuppfi.s
ressuppfi.z
Assertion
Ref Expression
ressuppfi

Proof of Theorem ressuppfi
StepHypRef Expression
1 ressuppfi.g . . . . . 6
21eqcomd 2465 . . . . 5
32oveq1d 6311 . . . 4
4 ressuppfi.s . . . 4
53, 4eqeltrd 2545 . . 3
6 ressuppfi.b . . 3
7 unfi 7807 . . 3
85, 6, 7syl2anc 661 . 2
9 ressuppfi.f . . 3
10 ressuppfi.z . . 3
11 ressuppssdif 6940 . . 3
129, 10, 11syl2anc 661 . 2
13 ssfi 7760 . 2
148, 12, 13syl2anc 661 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  domcdm 5004  |`cres 5006  (class class class)co 6296   csupp 6918   cfn 7536 This theorem is referenced by:  resfsupp  7876 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540
 Copyright terms: Public domain W3C validator