MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressuppssdif Unicode version

Theorem ressuppssdif 6940
Description: The support of the restriction of a function is a subset of the support of the function itself. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
ressuppssdif

Proof of Theorem ressuppssdif
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3485 . . . . . 6
2 sneq 4039 . . . . . . . . . 10
32imaeq2d 5342 . . . . . . . . 9
43neeq1d 2734 . . . . . . . 8
54elrab 3257 . . . . . . 7
6 ianor 488 . . . . . . . 8
72imaeq2d 5342 . . . . . . . . . 10
87neeq1d 2734 . . . . . . . . 9
98elrab 3257 . . . . . . . 8
106, 9xchnxbir 309 . . . . . . 7
11 ianor 488 . . . . . . . . . . 11
12 dmres 5299 . . . . . . . . . . . 12
1312elin2 3688 . . . . . . . . . . 11
1411, 13xchnxbir 309 . . . . . . . . . 10
15 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . 14
1716ancomd 451 . . . . . . . . . . . . 13
18 eldif 3485 . . . . . . . . . . . . 13
1917, 18sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
2019ex 434 . . . . . . . . . . 11
21 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . 13
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
2322com12 31 . . . . . . . . . . 11
2420, 23jaoi 379 . . . . . . . . . 10
2514, 24sylbi 195 . . . . . . . . 9
2615adantl 466 . . . . . . . . . . 11
27 snssi 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29 resima2 5312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3130eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3432, 33eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635necon3d 2681 . . . . . . . . . . . . . 14
3736impancom 440 . . . . . . . . . . . . 13
3837con3d 133 . . . . . . . . . . . 12
3938impcom 430 . . . . . . . . . . 11
4026, 39eldifd 3486 . . . . . . . . . 10
4140ex 434 . . . . . . . . 9
4225, 41jaoi 379 . . . . . . . 8
4342impcom 430 . . . . . . 7
445, 10, 43syl2anb 479 . . . . . 6
451, 44sylbi 195 . . . . 5
4645a1i 11 . . . 4
4746ssrdv 3509 . . 3
48 ssundif 3911 . . 3
4947, 48sylibr 212 . 2
50 suppval 6920 . 2
51 resexg 5321 . . . 4
52 suppval 6920 . . . 4
5351, 52sylan 471 . . 3
5453uneq1d 3656 . 2
5549, 50, 543sstr4d 3546 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  {csn 4029  domcdm 5004  |`cres 5006  "cima 5007  (class class class)co 6296   csupp 6918
This theorem is referenced by:  ressuppfi  7875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-supp 6919
  Copyright terms: Public domain W3C validator