MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressuppssdif Unicode version

Theorem ressuppssdif 6794
Description: The support of the restriction of a function is a subset of the support of the function itself. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
ressuppssdif

Proof of Theorem ressuppssdif
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3420 . . . . . 6
2 sneq 3969 . . . . . . . . . 10
32imaeq2d 5251 . . . . . . . . 9
43neeq1d 2722 . . . . . . . 8
54elrab 3198 . . . . . . 7
6 ianor 488 . . . . . . . 8
72imaeq2d 5251 . . . . . . . . . 10
87neeq1d 2722 . . . . . . . . 9
98elrab 3198 . . . . . . . 8
106, 9xchnxbir 309 . . . . . . 7
11 ianor 488 . . . . . . . . . . 11
12 dmres 5213 . . . . . . . . . . . 12
1312elin2 3623 . . . . . . . . . . 11
1411, 13xchnxbir 309 . . . . . . . . . 10
15 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . 14
1716ancomd 451 . . . . . . . . . . . . 13
18 eldif 3420 . . . . . . . . . . . . 13
1917, 18sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
2019ex 434 . . . . . . . . . . 11
21 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . 13
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
2322com12 31 . . . . . . . . . . 11
2420, 23jaoi 379 . . . . . . . . . 10
2514, 24sylbi 195 . . . . . . . . 9
2615adantl 466 . . . . . . . . . . 11
27 snssi 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29 resima2 5225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3130eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3432, 33eqtrd 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635necon3d 2669 . . . . . . . . . . . . . 14
3736impancom 440 . . . . . . . . . . . . 13
3837con3d 133 . . . . . . . . . . . 12
3938impcom 430 . . . . . . . . . . 11
4026, 39eldifd 3421 . . . . . . . . . 10
4140ex 434 . . . . . . . . 9
4225, 41jaoi 379 . . . . . . . 8
4342impcom 430 . . . . . . 7
445, 10, 43syl2anb 479 . . . . . 6
451, 44sylbi 195 . . . . 5
4645a1i 11 . . . 4
4746ssrdv 3444 . . 3
48 ssundif 3844 . . 3
4947, 48sylibr 212 . 2
50 suppval 6776 . 2
51 resexg 5231 . . . 4
52 suppval 6776 . . . 4
5351, 52sylan 471 . . 3
5453uneq1d 3591 . 2
5549, 50, 543sstr4d 3481 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757  =/=wne 2641  {crab 2796   cvv 3052  \cdif 3407  u.cun 3408  C_wss 3410  {csn 3959  domcdm 4922  |`cres 4924  "cima 4925  (class class class)co 6174   csupp 6774
This theorem is referenced by:  ressuppfi  7731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pr 4613  ax-un 6456
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-nul 3720  df-if 3874  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4174  df-br 4375  df-opab 4433  df-id 4718  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fv 5508  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-supp 6775
  Copyright terms: Public domain W3C validator