Theorem resubcl 9906

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 9603	. . 3
2		recn 9603	. . 3
3		negsub 9890	. . 3
4	1, 2, 3	syl2an 477	. 2
5		renegcl 9905	. . 3
6		readdcl 9596	. . 3
7	5, 6	sylan2 474	. 2
8	4, 7	eqeltrrd 2546	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  caddc 9516  cmin 9828  -ucneg 9829

This theorem is referenced by:  peano2rem  9909  resubcld  10012  ltaddsub  10051  leaddsub  10053  posdif  10070  lt2sub  10075  le2sub  10076  mulsuble0b  10439  cju  10557  elz2  10906  uzindOLD  10982  rpnnen1lem5  11241  difrp  11282  qbtwnre  11427  iooshf  11632  iccshftl  11685  lincmb01cmp  11692  uzsubsubfz  11736  difelfzle  11817  fzonmapblen  11868  eluzgtdifelfzo  11878  fracle1  11940  fldiv  11987  modcl  12000  2submod  12048  modsubdir  12055  expubnd  12226  absdiflt  13150  absdifle  13151  elicc4abs  13152  abssubge0  13160  abs2difabs  13167  rddif  13173  absrdbnd  13174  climsup  13492  flo1  13666  supcvg  13667  resin4p  13873  recos4p  13874  cos01bnd  13921  cos01gt0  13926  pythagtriplem12  14350  pythagtriplem14  14352  pythagtriplem16  14354  fldivp1  14416  prmreclem6  14439  cshwshashlem2  14581  bl2ioo  21297  ioo2bl  21298  ioo2blex  21299  blssioo  21300  blcvx  21303  reconnlem2  21332  opnreen  21336  iirev  21429  iihalf2  21433  iccpnfhmeo  21445  iccvolcl  21977  ioovolcl  21979  ismbf3d  22061  itgrecl  22204  cmvth  22392  dvle  22408  dvcvx  22421  dvfsumge  22423  aalioulem3  22730  aaliou  22734  aaliou3lem9  22746  abelthlem2  22827  abelthlem7  22833  abelth2  22837  sincosq1sgn  22891  sincosq2sgn  22892  sincosq3sgn  22893  sincosq4sgn  22894  tangtx  22898  sinq12gt0  22900  cosq14gt0  22903  cosq14ge0  22904  cosne0  22917  sinord  22921  resinf1o  22923  tanregt0  22926  efif1olem2  22930  relogdiv  22977  logneg2  23000  logdivlti  23005  logcnlem4  23026  logccv  23044  cxpaddlelem  23125  loglesqrt  23132  ang180lem2  23142  acoscos  23224  acosbnd  23231  acosrecl  23234  atanlogaddlem  23244  atans2  23262  leibpi  23273  divsqrtsumo1  23313  cvxcl  23314  scvxcvx  23315  jensenlem2  23317  amgmlem  23319  harmonicbnd4  23340  ftalem5  23350  basellem9  23362  mumullem2  23454  ppiub  23479  chtub  23487  bposlem1  23559  bposlem6  23564  bposlem9  23567  chtppilim  23660  chto1ub  23661  rplogsumlem2  23670  rpvmasumlem  23672  dchrisum0flblem1  23693  dchrisum0re  23698  log2sumbnd  23729  selberglem2  23731  pntrmax  23749  pntpbnd2  23772  pntlem3  23794  brbtwn2  24208  colinearalglem4  24212  eleesub  24214  eleesubd  24215  axsegconlem2  24221  ax5seglem2  24232  ax5seglem3  24234  axpaschlem  24243  axpasch  24244  axcontlem2  24268  xlt2addrd  27578  signshf  28545  zetacvg  28557  rescon  28691  sinccvglem  29038  fz0n  29110  refallfaccl  29140  sin2h  30045  tan2h  30047  mblfinlem3  30053  mblfinlem4  30054  dvtanlem  30064  itg2addnclem  30066  itg2addnclem3  30068  ftc1anclem5  30094  ftc1anclem6  30095  ftc1anclem7  30096  dvasin  30103  geomcau  30252  bfp  30320  ismrer1  30334  iccbnd  30336  rmspecsqrtnq  30842  jm2.17a  30898  acongeq  30921  jm3.1lem2  30960  areaquad  31184  lptre2pt  31646  dvnmul  31740  stoweidlem59  31841  fourierdlem42  31931  ltsubsubaddltsub  32324  zm1nn  32325  nn0resubcl  32328  subsubelfzo0  32338  ply1mulgsumlem2  32987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831