Theorem reuccats1 12706

Description: A set of words having the length of a given word increased by 1 contains a unique word with the given word as prefix if there is a unique symbol which extends the given word to be a word of the set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reuccats1

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem reuccats1

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2529	. . . 4
2		fveq2 5871	. . . . 5
3	2	eqeq1d 2459	. . . 4
4	1, 3	anbi12d 710	. . 3
5	4	cbvralv 3084	. 2
6		s1eq 12612	. . . . . 6
7	6	oveq2d 6312	. . . . 5
8	7	eleq1d 2526	. . . 4
9	8	reu8 3295	. . 3
10		simprl 756	. . . . . 6
11		simp-4l 767	. . . . . . . . 9
12		simpr 461	. . . . . . . . 9
13	10	adantr 465	. . . . . . . . 9
14		simplrr 762	. . . . . . . . 9
15		simp-4r 768	. . . . . . . . 9
16		reuccats1lem 12705	. . . . . . . . 9
17	11, 12, 13, 14, 15, 16	syl32anc 1236	. . . . . . . 8
18		oveq1 6303	. . . . . . . . . . 11
19		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . 15
20		s1cl 12614	. . . . . . . . . . . . . . 15
21	19, 20	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . 14
22	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
24		swrdccat1 12682	. . . . . . . . . . . 12
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . 11
26	18, 25	sylan9eqr 2520	. . . . . . . . . 10
27	26	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9
28	27	ex 434	. . . . . . . 8
29	17, 28	impbid 191	. . . . . . 7
30	29	ralrimiva 2871	. . . . . 6
31		reu6i 3290	. . . . . 6
32	10, 30, 31	syl2anc 661	. . . . 5
33	32	ex 434	. . . 4
34	33	rexlimdva 2949	. . 3
35	9, 34	syl5bi 217	. 2
36	5, 35	sylan2b 475	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  <.cop 4035  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  chash 12405  Wordcword 12534  cconcat 12536  <"cs1 12537  csubstr 12538

This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f1o  25105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-lsw 12543  df-concat 12544  df-s1 12545  df-substr 12546