Theorem reuccats1lem 12705

Description: Lemma for reuccats1 12706. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 15-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reuccats1lem

Distinct variable groups:   S,   ,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem reuccats1lem

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2529	. . . . . . . . 9
2		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
3	2	eqeq1d 2459	. . . . . . . . 9
4	1, 3	anbi12d 710	. . . . . . . 8
5	4	rspcv 3206	. . . . . . 7
6	5	adantl 466	. . . . . 6
7		simpl 457	. . . . . . . . . . 11
8	7	adantr 465	. . . . . . . . . 10
9		simpl 457	. . . . . . . . . . 11
10	9	adantl 466	. . . . . . . . . 10
11		simprr 757	. . . . . . . . . 10
12		ccats1swrdeqrex 12704	. . . . . . . . . 10
13	8, 10, 11, 12	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
14		s1eq 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15	14	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16	15	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17		eqeq2 2472	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18	16, 17	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15
19	18	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . 14
20		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21	20	biimpac 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22		s1eq 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
23	22	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
24	23	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
25	24	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
26	25	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
27	26	imim2i 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
28	27	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29	28	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
30	21, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14
33	19, 32	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . 13
34	33	com23 78	. . . . . . . . . . . 12
35	34	rexlimdva 2949	. . . . . . . . . . 11
36	35	adantl 466	. . . . . . . . . 10
37	36	adantr 465	. . . . . . . . 9
38	13, 37	syld 44	. . . . . . . 8
39	38	com23 78	. . . . . . 7
40	39	ex 434	. . . . . 6
41	6, 40	syld 44	. . . . 5
42	41	com23 78	. . . 4
43	42	impd 431	. . 3
44	43	3adant3 1016	. 2
45	44	imp 429	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  <.cop 4035  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  chash 12405  Wordcword 12534  cconcat 12536  <"cs1 12537  csubstr 12538

This theorem is referenced by:  reuccats1  12706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-lsw 12543  df-concat 12544  df-s1 12545  df-substr 12546