Theorem reuind 3303

Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 16-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
reuind.1
reuind.2

Assertion

Ref	Expression
reuind

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,

Proof of Theorem reuind

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuind.2	. . . . . . . 8
2	1	eleq1d 2526	. . . . . . 7
3		reuind.1	. . . . . . 7
4	2, 3	anbi12d 710	. . . . . 6
5	4	cbvexv 2024	. . . . 5
6		r19.41v 3009	. . . . . . 7
7	6	exbii 1667	. . . . . 6
8		rexcom4 3129	. . . . . 6
9		risset 2982	. . . . . . . 8
10	9	anbi1i 695	. . . . . . 7
11	10	exbii 1667	. . . . . 6
12	7, 8, 11	3bitr4ri 278	. . . . 5
13	5, 12	bitri 249	. . . 4
14		eqeq2 2472	. . . . . . . . . 10
15	14	imim2i 14	. . . . . . . . 9
16		bi2 198	. . . . . . . . . . 11
17	16	imim2i 14	. . . . . . . . . 10
18		an31 800	. . . . . . . . . . . 12
19	18	imbi1i 325	. . . . . . . . . . 11
20		impexp 446	. . . . . . . . . . 11
21		impexp 446	. . . . . . . . . . 11
22	19, 20, 21	3bitr3i 275	. . . . . . . . . 10
23	17, 22	sylib 196	. . . . . . . . 9
24	15, 23	syl 16	. . . . . . . 8
25	24	2alimi 1634	. . . . . . 7
26		19.23v 1760	. . . . . . . . . 10
27		an12 797	. . . . . . . . . . . . . 14
28		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29	28	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	29	pm5.32ri 638	. . . . . . . . . . . . . 14
31	27, 30	bitr4i 252	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	exbii 1667	. . . . . . . . . . . 12
33		19.42v 1775	. . . . . . . . . . . 12
34	32, 33	bitri 249	. . . . . . . . . . 11
35	34	imbi1i 325	. . . . . . . . . 10
36	26, 35	bitri 249	. . . . . . . . 9
37	36	albii 1640	. . . . . . . 8
38		19.21v 1729	. . . . . . . 8
39	37, 38	bitri 249	. . . . . . 7
40	25, 39	sylib 196	. . . . . 6
41	40	expd 436	. . . . 5
42	41	reximdvai 2929	. . . 4
43	13, 42	syl5bi 217	. . 3
44	43	imp 429	. 2
45		pm4.24 643	. . . . . . . . 9
46	45	biimpi 194	. . . . . . . 8
47		prth 571	. . . . . . . 8
48		eqtr3 2485	. . . . . . . 8
49	46, 47, 48	syl56 34	. . . . . . 7
50	49	alanimi 1637	. . . . . 6
51		19.23v 1760	. . . . . . . 8
52	51	biimpi 194	. . . . . . 7
53	52	com12 31	. . . . . 6
54	50, 53	syl5 32	. . . . 5
55	54	a1d 25	. . . 4
56	55	ralrimivv 2877	. . 3
57	56	adantl 466	. 2
58		eqeq1 2461	. . . . 5
59	58	imbi2d 316	. . . 4
60	59	albidv 1713	. . 3
61	60	reu4 3293	. 2
62	44, 57, 61	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-v 3111