MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revccat Unicode version

Theorem revccat 12740
Description: Antiautomorphic property of the reversal operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revccat

Proof of Theorem revccat
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 12593 . . . 4
2 revcl 12735 . . . 4
3 wrdf 12553 . . . 4
4 ffn 5736 . . . 4
51, 2, 3, 44syl 21 . . 3
6 revlen 12736 . . . . . . 7
71, 6syl 16 . . . . . 6
8 ccatlen 12594 . . . . . . 7
9 lencl 12562 . . . . . . . . 9
109nn0cnd 10879 . . . . . . . 8
11 lencl 12562 . . . . . . . . 9
1211nn0cnd 10879 . . . . . . . 8
13 addcom 9787 . . . . . . . 8
1410, 12, 13syl2an 477 . . . . . . 7
158, 14eqtrd 2498 . . . . . 6
167, 15eqtrd 2498 . . . . 5
1716oveq2d 6312 . . . 4
1817fneq2d 5677 . . 3
195, 18mpbid 210 . 2
20 revcl 12735 . . . . 5
21 revcl 12735 . . . . 5
22 ccatcl 12593 . . . . 5
2320, 21, 22syl2anr 478 . . . 4
24 wrdf 12553 . . . 4
25 ffn 5736 . . . 4
2623, 24, 253syl 20 . . 3
27 ccatlen 12594 . . . . . . 7
2820, 21, 27syl2anr 478 . . . . . 6
29 revlen 12736 . . . . . . 7
30 revlen 12736 . . . . . . 7
3129, 30oveqan12rd 6316 . . . . . 6
3228, 31eqtrd 2498 . . . . 5
3332oveq2d 6312 . . . 4
3433fneq2d 5677 . . 3
3526, 34mpbid 210 . 2
36 id 22 . . . 4
3711nn0zd 10992 . . . . 5
3837adantl 466 . . . 4
39 fzospliti 11857 . . . 4
4036, 38, 39syl2anr 478 . . 3
41 simpll 753 . . . . . . 7
42 simplr 755 . . . . . . 7
43 fzoval 11830 . . . . . . . . . . . 12
4438, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11
4544eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
4645biimpa 484 . . . . . . . . 9
47 fznn0sub2 11810 . . . . . . . . 9
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8
4944adantr 465 . . . . . . . 8
5048, 49eleqtrrd 2548 . . . . . . 7
51 ccatval3 12597 . . . . . . 7
5241, 42, 50, 51syl3anc 1228 . . . . . 6
5315oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
5412adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
5510adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
56 1cnd 9633 . . . . . . . . . . . 12
5754, 55, 56addsubd 9975 . . . . . . . . . . 11
5853, 57eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
5958oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
6059adantr 465 . . . . . . . 8
61 peano2zm 10932 . . . . . . . . . . . 12
6237, 61syl 16 . . . . . . . . . . 11
6362zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
6463ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
6510ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
66 elfzoelz 11829 . . . . . . . . . . 11
6766zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
6867adantl 466 . . . . . . . . 9
6964, 65, 68addsubd 9975 . . . . . . . 8
7060, 69eqtrd 2498 . . . . . . 7
7170fveq2d 5875 . . . . . 6
72 revfv 12737 . . . . . . 7
7372adantll 713 . . . . . 6
7452, 71, 733eqtr4d 2508 . . . . 5
751adantr 465 . . . . . 6
76 uzid 11124 . . . . . . . . . . 11
7738, 76syl 16 . . . . . . . . . 10
789adantr 465 . . . . . . . . . 10
79 uzaddcl 11166 . . . . . . . . . 10
8077, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . . 9
8115, 80eqeltrd 2545 . . . . . . . 8
82 fzoss2 11853 . . . . . . . 8
8381, 82syl 16 . . . . . . 7
8483sselda 3503 . . . . . 6
85 revfv 12737 . . . . . 6
8675, 84, 85syl2anc 661 . . . . 5
8720ad2antlr 726 . . . . . 6
8821ad2antrr 725 . . . . . 6
8929adantl 466 . . . . . . . . 9
9089oveq2d 6312 . . . . . . . 8
9190eleq2d 2527 . . . . . . 7
9291biimpar 485 . . . . . 6
93 ccatval1 12595 . . . . . 6
9487, 88, 92, 93syl3anc 1228 . . . . 5
9574, 86, 943eqtr4d 2508 . . . 4
968oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
9755, 54, 56addsubd 9975 . . . . . . . . . . . 12
9896, 97eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
9998oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
10099adantr 465 . . . . . . . . 9
1019nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . 13
102 peano2zm 10932 . . . . . . . . . . . . 13
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . 12
104103zcnd 10995 . . . . . . . . . . 11
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
106 elfzoelz 11829 . . . . . . . . . . . 12
107106zcnd 10995 . . . . . . . . . . 11
108107adantl 466 . . . . . . . . . 10
10912ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
110105, 108, 109subsub3d 9984 . . . . . . . . 9
111100, 110eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
11289oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
113112oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
114113adantr 465 . . . . . . . 8
115111, 114eqtr4d 2501 . . . . . . 7
116115fveq2d 5875 . . . . . 6
117 simpll 753 . . . . . . 7
118 simplr 755 . . . . . . 7
119 zaddcl 10929 . . . . . . . . . . . 12
12037, 101, 119syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11
121 peano2zm 10932 . . . . . . . . . . 11
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . 10
123122adantr 465 . . . . . . . . 9
124 fzoval 11830 . . . . . . . . . . . 12
125120, 124syl 16 . . . . . . . . . . 11
126125eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
127126biimpa 484 . . . . . . . . 9
128 fzrev2i 11773 . . . . . . . . 9
129123, 127, 128syl2anc 661 . . . . . . . 8
13053oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
131130adantr 465 . . . . . . . 8
132101adantr 465 . . . . . . . . . . 11
133 fzoval 11830 . . . . . . . . . . 11
134132, 133syl 16 . . . . . . . . . 10
135122zcnd 10995 . . . . . . . . . . . 12
136135subidd 9942 . . . . . . . . . . 11
137 addcl 9595 . . . . . . . . . . . . . 14
13812, 10, 137syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13
139138, 56, 54sub32d 9986 . . . . . . . . . . . 12
140 pncan2 9850 . . . . . . . . . . . . . 14
14112, 10, 140syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13
142141oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
143139, 142eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
144136, 143oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
145134, 144eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
146145adantr 465 . . . . . . . 8
147129, 131, 1463eltr4d 2560 . . . . . . 7
148 ccatval1 12595 . . . . . . 7
149117, 118, 147, 148syl3anc 1228 . . . . . 6
15029ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
151150oveq2d 6312 . . . . . . . 8
152 id 22 . . . . . . . . 9
153 fzosubel3 11877 . . . . . . . . 9
154152, 132, 153syl2anr 478 . . . . . . . 8
155151, 154eqeltrd 2545 . . . . . . 7
156 revfv 12737 . . . . . . 7
157117, 155, 156syl2anc 661 . . . . . 6
158116, 149, 1573eqtr4d 2508 . . . . 5
1591adantr 465 . . . . . 6
16011adantl 466 . . . . . . . . 9
161 fzoss1 11852 . . . . . . . . . 10
162 nn0uz 11144 . . . . . . . . . 10
163161, 162eleq2s 2565 . . . . . . . . 9
164160, 163syl 16 . . . . . . . 8
16515oveq2d 6312 . . . . . . . 8
166164, 165sseqtr4d 3540 . . . . . . 7
167166sselda 3503 . . . . . 6
168159, 167, 85syl2anc 661 . . . . 5
16920ad2antlr 726 . . . . . 6
17021ad2antrr 725 . . . . . 6
17189, 31oveq12d 6314 . . . . . . . 8
172171eleq2d 2527 . . . . . . 7
173172biimpar 485 . . . . . 6
174 ccatval2 12596 . . . . . 6
175169, 170, 173, 174syl3anc 1228 . . . . 5
176158, 168, 1753eqtr4d 2508 . . . 4
17795, 176jaodan 785 . . 3
17840, 177syldan 470 . 2
17919, 35, 178eqfnfvd 5984 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfzo 11824   chash 12405  Wordcword 12534   cconcat 12536   creverse 12540
This theorem is referenced by:  gsumwrev  16401  efginvrel2  16745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr