Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexanre Unicode version

Theorem rexanre 13179
 Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexanre
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,

Proof of Theorem rexanre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . 6
21imim2i 14 . . . . 5
32ralimi 2850 . . . 4
43reximi 2925 . . 3
5 simpr 461 . . . . . 6
65imim2i 14 . . . . 5
76ralimi 2850 . . . 4
87reximi 2925 . . 3
94, 8jca 532 . 2
10 breq1 4455 . . . . . . . 8
1110imbi1d 317 . . . . . . 7
1211ralbidv 2896 . . . . . 6
1312cbvrexv 3085 . . . . 5
14 breq1 4455 . . . . . . . 8
1514imbi1d 317 . . . . . . 7
1615ralbidv 2896 . . . . . 6
1716cbvrexv 3085 . . . . 5
1813, 17anbi12i 697 . . . 4
19 reeanv 3025 . . . 4
2018, 19bitr4i 252 . . 3
21 ifcl 3983 . . . . . . 7
2221ancoms 453 . . . . . 6
2322adantl 466 . . . . 5
24 r19.26 2984 . . . . . 6
25 prth 571 . . . . . . . 8
26 simplrl 761 . . . . . . . . . 10
27 simplrr 762 . . . . . . . . . 10
28 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
2928sselda 3503 . . . . . . . . . 10
30 maxle 11420 . . . . . . . . . 10
3126, 27, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
3231imbi1d 317 . . . . . . . 8
3325, 32syl5ibr 221 . . . . . . 7
3433ralimdva 2865 . . . . . 6
3524, 34syl5bir 218 . . . . 5
36 breq1 4455 . . . . . . . 8
3736imbi1d 317 . . . . . . 7
3837ralbidv 2896 . . . . . 6
3938rspcev 3210 . . . . 5
4023, 35, 39syl6an 545 . . . 4
4140rexlimdvva 2956 . . 3
4220, 41syl5bi 217 . 2
439, 42impbid2 204 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452   cr 9512   cle 9650 This theorem is referenced by:  o1lo1  13360  rlimuni  13373  lo1add  13449  lo1mul  13450  rlimno1  13476 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655
 Copyright terms: Public domain W3C validator