Theorem rexanre 13179

Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexanre

Distinct variable groups:   ,,   ,   ,

Proof of Theorem rexanre

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . . . 6
2	1	imim2i 14	. . . . 5
3	2	ralimi 2850	. . . 4
4	3	reximi 2925	. . 3
5		simpr 461	. . . . . 6
6	5	imim2i 14	. . . . 5
7	6	ralimi 2850	. . . 4
8	7	reximi 2925	. . 3
9	4, 8	jca 532	. 2
10		breq1 4455	. . . . . . . 8
11	10	imbi1d 317	. . . . . . 7
12	11	ralbidv 2896	. . . . . 6
13	12	cbvrexv 3085	. . . . 5
14		breq1 4455	. . . . . . . 8
15	14	imbi1d 317	. . . . . . 7
16	15	ralbidv 2896	. . . . . 6
17	16	cbvrexv 3085	. . . . 5
18	13, 17	anbi12i 697	. . . 4
19		reeanv 3025	. . . 4
20	18, 19	bitr4i 252	. . 3
21		ifcl 3983	. . . . . . 7
22	21	ancoms 453	. . . . . 6
23	22	adantl 466	. . . . 5
24		r19.26 2984	. . . . . 6
25		prth 571	. . . . . . . 8
26		simplrl 761	. . . . . . . . . 10
27		simplrr 762	. . . . . . . . . 10
28		simpl 457	. . . . . . . . . . 11
29	28	sselda 3503	. . . . . . . . . 10
30		maxle 11420	. . . . . . . . . 10
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
32	31	imbi1d 317	. . . . . . . 8
33	25, 32	syl5ibr 221	. . . . . . 7
34	33	ralimdva 2865	. . . . . 6
35	24, 34	syl5bir 218	. . . . 5
36		breq1 4455	. . . . . . . 8
37	36	imbi1d 317	. . . . . . 7
38	37	ralbidv 2896	. . . . . 6
39	38	rspcev 3210	. . . . 5
40	23, 35, 39	syl6an 545	. . . 4
41	40	rexlimdvva 2956	. . 3
42	20, 41	syl5bi 217	. 2
43	9, 42	impbid2 204	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  cr 9512  cle 9650

This theorem is referenced by:  o1lo1  13360  rlimuni  13373  lo1add  13449  lo1mul  13450  rlimno1  13476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655