MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexico Unicode version

Theorem rexico 13186
Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,

Proof of Theorem rexico
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4
2 pnfxr 11350 . . . 4
3 icossre 11634 . . . 4
41, 2, 3sylancl 662 . . 3
5 ssrexv 3564 . . 3
64, 5syl 16 . 2
7 simpr 461 . . . . . . 7
8 simplr 755 . . . . . . 7
97, 8ifcld 3984 . . . . . 6
10 max1 11415 . . . . . . 7
1110adantll 713 . . . . . 6
12 elicopnf 11649 . . . . . . 7
1312ad2antlr 726 . . . . . 6
149, 11, 13mpbir2and 922 . . . . 5
158adantr 465 . . . . . . . . 9
16 simplr 755 . . . . . . . . 9
17 simpll 753 . . . . . . . . . 10
1817sselda 3503 . . . . . . . . 9
19 maxle 11420 . . . . . . . . 9
2015, 16, 18, 19syl3anc 1228 . . . . . . . 8
21 simpr 461 . . . . . . . 8
2220, 21syl6bi 228 . . . . . . 7
2322imim1d 75 . . . . . 6
2423ralimdva 2865 . . . . 5
25 breq1 4455 . . . . . . . 8
2625imbi1d 317 . . . . . . 7
2726ralbidv 2896 . . . . . 6
2827rspcev 3210 . . . . 5
2914, 24, 28syl6an 545 . . . 4
3029rexlimdva 2949 . . 3
31 breq1 4455 . . . . . 6
3231imbi1d 317 . . . . 5
3332ralbidv 2896 . . . 4
3433cbvrexv 3085 . . 3
3530, 34syl6ib 226 . 2
366, 35impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512   cpnf 9646   cxr 9648   cle 9650   cico 11560
This theorem is referenced by:  rlimi2  13337  ello1mpt2  13345  dvfsumrlim  22432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ico 11564
  Copyright terms: Public domain W3C validator