Theorem rexmul 11492

Description: The extended real multiplication when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexmul

Proof of Theorem rexmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renepnf 9662	. . . . . . . . . . 11
2	1	adantr 465	. . . . . . . . . 10
3	2	necon2bi 2694	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 466	. . . . . . . 8
5		renemnf 9663	. . . . . . . . . . 11
6	5	adantr 465	. . . . . . . . . 10
7	6	necon2bi 2694	. . . . . . . . 9
8	7	adantl 466	. . . . . . . 8
9	4, 8	jaoi 379	. . . . . . 7
10		renepnf 9662	. . . . . . . . . . 11
11	10	adantl 466	. . . . . . . . . 10
12	11	necon2bi 2694	. . . . . . . . 9
13	12	adantl 466	. . . . . . . 8
14		renemnf 9663	. . . . . . . . . . 11
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . 10
16	15	necon2bi 2694	. . . . . . . . 9
17	16	adantl 466	. . . . . . . 8
18	13, 17	jaoi 379	. . . . . . 7
19	9, 18	jaoi 379	. . . . . 6
20	19	con2i 120	. . . . 5
21	20	iffalsed 3952	. . . 4
22	7	adantl 466	. . . . . . . 8
23	3	adantl 466	. . . . . . . 8
24	22, 23	jaoi 379	. . . . . . 7
25	16	adantl 466	. . . . . . . 8
26	12	adantl 466	. . . . . . . 8
27	25, 26	jaoi 379	. . . . . . 7
28	24, 27	jaoi 379	. . . . . 6
29	28	con2i 120	. . . . 5
30	29	iffalsed 3952	. . . 4
31	21, 30	eqtrd 2498	. . 3
32	31	ifeq2d 3960	. 2
33		rexr 9660	. . 3
34		rexr 9660	. . 3
35		xmulval 11453	. . 3
36	33, 34, 35	syl2an 477	. 2
37		ifid 3978	. . 3
38		oveq1 6303	. . . . . 6
39		mul02lem2 9778	. . . . . . 7
40	39	adantl 466	. . . . . 6
41	38, 40	sylan9eqr 2520	. . . . 5
42		oveq2 6304	. . . . . 6
43		recn 9603	. . . . . . . 8
44	43	mul01d 9800	. . . . . . 7
45	44	adantr 465	. . . . . 6
46	42, 45	sylan9eqr 2520	. . . . 5
47	41, 46	jaodan 785	. . . 4
48	47	ifeq1da 3971	. . 3
49	37, 48	syl5eqr 2512	. 2
50	32, 36, 49	3eqtr4d 2508	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  ifcif 3941   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  cmul 9518  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648  clt 9649  cxmu 11346

This theorem is referenced by:  xmulid1  11500  xmulgt0  11504  xmulasslem3  11507  xlemul1a  11509  xlemul1  11511  xadddilem  11515  nmoix  21236  nmoi2  21237  metnrmlem3  21365  nmoleub2lem  21597  xrecex  27616  rexdiv  27622  pnfinf  27727  xrge0slmod  27834  esumcst  28071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-xmul 11349