MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexuzre Unicode version

Theorem rexuzre 13185
Description: Convert an upper real quantifier to an upper integer quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1
Assertion
Ref Expression
rexuzre
Distinct variable groups:   ,M   ,   , ,   ,M

Proof of Theorem rexuzre
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelre 11120 . . . . . 6
2 rexuz3.1 . . . . . 6
31, 2eleq2s 2565 . . . . 5
43adantr 465 . . . 4
5 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . 12
65, 2eleq2s 2565 . . . . . . . . . . 11
7 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . 12
87, 2eleq2s 2565 . . . . . . . . . . 11
9 eluz 11123 . . . . . . . . . . 11
106, 8, 9syl2an 477 . . . . . . . . . 10
1110biimprd 223 . . . . . . . . 9
1211expimpd 603 . . . . . . . 8
1312imim1d 75 . . . . . . 7
1413exp4a 606 . . . . . 6
1514ralimdv2 2864 . . . . 5
1615imp 429 . . . 4
174, 16jca 532 . . 3
1817reximi2 2924 . 2
19 simpl 457 . . . . . . 7
20 flcl 11932 . . . . . . . . . 10
2120adantl 466 . . . . . . . . 9
2221peano2zd 10997 . . . . . . . 8
2322, 19ifcld 3984 . . . . . . 7
24 zre 10893 . . . . . . . 8
25 reflcl 11933 . . . . . . . . 9
26 peano2re 9774 . . . . . . . . 9
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8
28 max1 11415 . . . . . . . 8
2924, 27, 28syl2an 477 . . . . . . 7
30 eluz2 11116 . . . . . . 7
3119, 23, 29, 30syl3anbrc 1180 . . . . . 6
3231, 2syl6eleqr 2556 . . . . 5
33 impexp 446 . . . . . . 7
34 uzss 11130 . . . . . . . . . . . . 13
3531, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3635, 2syl6sseqr 3550 . . . . . . . . . . 11
3736sselda 3503 . . . . . . . . . 10
38 simplr 755 . . . . . . . . . . 11
3923adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
4039zred 10994 . . . . . . . . . . 11
41 eluzelre 11120 . . . . . . . . . . . 12
4241adantl 466 . . . . . . . . . . 11
43 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
4427adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
4523zred 10994 . . . . . . . . . . . . 13
46 fllep1 11938 . . . . . . . . . . . . . 14
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
48 max2 11417 . . . . . . . . . . . . . 14
4924, 27, 48syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
5043, 44, 45, 47, 49letrd 9760 . . . . . . . . . . . 12
5150adantr 465 . . . . . . . . . . 11
52 eluzle 11122 . . . . . . . . . . . 12
5352adantl 466 . . . . . . . . . . 11
5438, 40, 42, 51, 53letrd 9760 . . . . . . . . . 10
5537, 54jca 532 . . . . . . . . 9
5655ex 434 . . . . . . . 8
5756imim1d 75 . . . . . . 7
5833, 57syl5bir 218 . . . . . 6
5958ralimdv2 2864 . . . . 5
60 fveq2 5871 . . . . . . 7
6160raleqdv 3060 . . . . . 6
6261rspcev 3210 . . . . 5
6332, 59, 62syl6an 545 . . . 4
6463rexlimdva 2949 . . 3
65 fveq2 5871 . . . . 5
6665raleqdv 3060 . . . 4
6766cbvrexv 3085 . . 3
6864, 67syl6ib 226 . 2
6918, 68impbid2 204 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   cle 9650   cz 10889   cuz 11110   cfl 11927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fl 11929
  Copyright terms: Public domain W3C validator