Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre3 Unicode version

Theorem rfcnpre3 29877
Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater or equal than a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre3.2
rfcnpre3.3
rfcnpre3.4
rfcnpre3.5
rfcnpre3.6
rfcnpre3.8
Assertion
Ref Expression
rfcnpre3
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem rfcnpre3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre3.3 . . . . . . . 8
2 rfcnpre3.4 . . . . . . . 8
3 eqid 2450 . . . . . . . 8
4 rfcnpre3.8 . . . . . . . 8
51, 2, 3, 4fcnre 29869 . . . . . . 7
6 ffn 5641 . . . . . . 7
7 elpreima 5906 . . . . . . 7
85, 6, 73syl 20 . . . . . 6
9 rfcnpre3.6 . . . . . . . . . . 11
109rexrd 9518 . . . . . . . . . 10
1110adantr 465 . . . . . . . . 9
12 pnfxr 11177 . . . . . . . . 9
13 elico1 11428 . . . . . . . . 9
1411, 12, 13sylancl 662 . . . . . . . 8
15 simpr2 995 . . . . . . . . 9
165fnvinran 29858 . . . . . . . . . . . 12
1716rexrd 9518 . . . . . . . . . . 11
1817adantr 465 . . . . . . . . . 10
19 simpr 461 . . . . . . . . . 10
2016adantr 465 . . . . . . . . . . 11
21 ltpnf 11187 . . . . . . . . . . 11
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . 10
2318, 19, 223jca 1168 . . . . . . . . 9
2415, 23impbida 828 . . . . . . . 8
2514, 24bitrd 253 . . . . . . 7
2625pm5.32da 641 . . . . . 6
278, 26bitrd 253 . . . . 5
28 nfcv 2610 . . . . . 6
29 nfcv 2610 . . . . . 6
30 nfcv 2610 . . . . . . 7
31 nfcv 2610 . . . . . . 7
32 rfcnpre3.2 . . . . . . . 8
3332, 28nffv 5780 . . . . . . 7
3430, 31, 33nfbr 4418 . . . . . 6
35 fveq2 5773 . . . . . . 7
3635breq2d 4386 . . . . . 6
3728, 29, 34, 36elrabf 3196 . . . . 5
3827, 37syl6bbr 263 . . . 4
3938eqrdv 2447 . . 3
40 rfcnpre3.5 . . 3
4139, 40syl6eqr 2508 . 2
42 icopnfcld 20447 . . . . 5
439, 42syl 16 . . . 4
441fveq2i 5776 . . . 4
4543, 44syl6eleqr 2547 . . 3
46 cnclima 18972 . . 3
474, 45, 46syl2anc 661 . 2
4841, 47eqeltrrd 2537 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1757  F/_wnfc 2596  {crab 2796  U.cuni 4173   class class class wbr 4374  `'ccnv 4921  rancrn 4923  "cima 4925  Fnwfn 5495  -->wf 5496  `cfv 5500  (class class class)co 6174   cr 9366   cpnf 9500   cxr 9502   clt 9503   cle 9504   cioo 11385   cico 11387   ctg 14462   ccld 18720   ccn 18928
This theorem is referenced by:  stoweidlem59  29976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456  ax-cnex 9423  ax-resscn 9424  ax-1cn 9425  ax-icn 9426  ax-addcl 9427  ax-addrcl 9428  ax-mulcl 9429  ax-mulrcl 9430  ax-mulcom 9431  ax-addass 9432  ax-mulass 9433  ax-distr 9434  ax-i2m1 9435  ax-1ne0 9436  ax-1rid 9437  ax-rnegex 9438  ax-rrecex 9439  ax-cnre 9440  ax-pre-lttri 9441  ax-pre-lttrn 9442  ax-pre-ltadd 9443  ax-pre-mulgt0 9444  ax-pre-sup 9445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pss 3426  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4468  df-eprel 4714  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-fr 4761  df-we 4763  df-ord 4804  df-on 4805  df-lim 4806  df-suc 4807  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-riota 6135  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-om 6561  df-1st 6661  df-2nd 6662  df-recs 6916  df-rdg 6950  df-er 7185  df-map 7300  df-en 7395  df-dom 7396  df-sdom 7397  df-sup 7776  df-pnf 9505  df-mnf 9506  df-xr 9507  df-ltxr 9508  df-le 9509  df-sub 9682  df-neg 9683  df-div 10079  df-nn 10408  df-n0 10665  df-z 10732  df-uz 10947  df-q 11039  df-ioo 11389  df-ico 11391  df-topgen 14468  df-top 18603  df-bases 18605  df-topon 18606  df-cld 18723  df-cn 18931
  Copyright terms: Public domain W3C validator