Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim2lt Unicode version

Theorem rlim2lt 13320
 Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1
rlim2.2
rlim2.3
Assertion
Ref Expression
rlim2lt
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,

Proof of Theorem rlim2lt
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4
2 rlim2.2 . . . 4
3 rlim2.3 . . . 4
41, 2, 3rlim2 13319 . . 3
5 simplr 755 . . . . . . . . 9
6 simpl 457 . . . . . . . . . 10
76sselda 3503 . . . . . . . . 9
8 ltle 9694 . . . . . . . . 9
95, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . . 8
109imim1d 75 . . . . . . 7
1110ralimdva 2865 . . . . . 6
122, 11sylan 471 . . . . 5
1312reximdva 2932 . . . 4
1413ralimdv 2867 . . 3
154, 14sylbid 215 . 2
16 peano2re 9774 . . . . . . 7
1716adantl 466 . . . . . 6
18 ltp1 10405 . . . . . . . . . . 11
1918ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
2016ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
21 ltletr 9697 . . . . . . . . . . 11
225, 20, 7, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
2319, 22mpand 675 . . . . . . . . 9
2423imim1d 75 . . . . . . . 8
2524ralimdva 2865 . . . . . . 7
262, 25sylan 471 . . . . . 6
27 breq1 4455 . . . . . . . . 9
2827imbi1d 317 . . . . . . . 8
2928ralbidv 2896 . . . . . . 7
3029rspcev 3210 . . . . . 6
3117, 26, 30syl6an 545 . . . . 5
3231rexlimdva 2949 . . . 4
3332ralimdv 2867 . . 3
341, 2, 3rlim2 13319 . . 3
3533, 34sylibrd 234 . 2
3615, 35impbid 191 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  1`c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   crp 11249   cabs 13067   crli 13308 This theorem is referenced by:  rlim0lt  13332  rlimcnp  23295  xrlimcnp  23298 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-rlim 13312
 Copyright terms: Public domain W3C validator