Theorem rlim3 13321

Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim2.1
rlim2.2
rlim2.3
rlim3.4

Assertion

Ref	Expression
rlim3

Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,

Proof of Theorem rlim3

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim2.1	. . . 4
2		rlim2.2	. . . 4
3		rlim2.3	. . . 4
4	1, 2, 3	rlim2 13319	. . 3
5		simpr 461	. . . . . . . 8
6		rlim3.4	. . . . . . . . 9
7	6	adantr 465	. . . . . . . 8
8	5, 7	ifcld 3984	. . . . . . 7
9		max1 11415	. . . . . . . 8
10	6, 9	sylan 471	. . . . . . 7
11		elicopnf 11649	. . . . . . . 8
12	7, 11	syl 16	. . . . . . 7
13	8, 10, 12	mpbir2and 922	. . . . . 6
14	2, 6	jca 532	. . . . . . 7
15		simpllr 760	. . . . . . . . . . 11
16		simplr 755	. . . . . . . . . . 11
17		max2 11417	. . . . . . . . . . 11
18	15, 16, 17	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
19	16, 15	ifcld 3984	. . . . . . . . . . 11
20		simpll 753	. . . . . . . . . . . 12
21	20	sselda 3503	. . . . . . . . . . 11
22		letr 9699	. . . . . . . . . . 11
23	16, 19, 21, 22	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10
24	18, 23	mpand 675	. . . . . . . . 9
25	24	imim1d 75	. . . . . . . 8
26	25	ralimdva 2865	. . . . . . 7
27	14, 26	sylan 471	. . . . . 6
28		breq1 4455	. . . . . . . . 9
29	28	imbi1d 317	. . . . . . . 8
30	29	ralbidv 2896	. . . . . . 7
31	30	rspcev 3210	. . . . . 6
32	13, 27, 31	syl6an 545	. . . . 5
33	32	rexlimdva 2949	. . . 4
34	33	ralimdv 2867	. . 3
35	4, 34	sylbid 215	. 2
36		pnfxr 11350	. . . . . 6
37		icossre 11634	. . . . . 6
38	6, 36, 37	sylancl 662	. . . . 5
39		ssrexv 3564	. . . . 5
40	38, 39	syl 16	. . . 4
41	40	ralimdv 2867	. . 3
42	1, 2, 3	rlim2 13319	. . 3
43	41, 42	sylibrd 234	. 2
44	35, 43	impbid 191	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  cpnf 9646  cxr 9648  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  crp 11249  cico 11560  cabs 13067  crli 13308

This theorem is referenced by:  rlimresb  13388  rlimsqzlem  13471  rlimcnp  23295  signsply0  28508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ico 11564  df-rlim 13312