Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcld2 Unicode version

Theorem rlimcld2 13401
 Description: If is a closed set in the topology of the complex numbers (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in , then the limit of the sequence also lies in . (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1
rlimcld2.2
rlimcld2.3
rlimcld2.4
rlimcld2.5
rlimcld2.6
Assertion
Ref Expression
rlimcld2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,

Proof of Theorem rlimcld2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.6 . . . . 5
21ralrimiva 2871 . . . 4
4 rlimcld2.2 . . . . . . 7
54adantr 465 . . . . . 6
6 rlimcl 13326 . . . . . 6
75, 6syl 16 . . . . 5
8 simpr 461 . . . . 5
97, 8eldifd 3486 . . . 4
10 rlimcld2.4 . . . . . 6
1110ralrimiva 2871 . . . . 5
1211adantr 465 . . . 4
13 nfcsb1v 3450 . . . . . 6
1413nfel1 2635 . . . . 5
15 csbeq1a 3443 . . . . . 6
1615eleq1d 2526 . . . . 5
1714, 16rspc 3204 . . . 4
189, 12, 17sylc 60 . . 3
193, 18, 5rlimi 13336 . 2
201adantlr 714 . . . . . . . . 9
2120adantlr 714 . . . . . . . 8
22 rlimcld2.5 . . . . . . . . . . . . 13
2322ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12
2423ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10
26 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12
27 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13
28 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13
2913, 27, 28nfbr 4496 . . . . . . . . . . . 12
3026, 29nfral 2843 . . . . . . . . . . 11
31 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
3231fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
3315, 32breq12d 4465 . . . . . . . . . . . 12
3433ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11
3530, 34rspc 3204 . . . . . . . . . 10
369, 25, 35sylc 60 . . . . . . . . 9
3736ad2antrr 725 . . . . . . . 8
38 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
3938fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
4039breq2d 4464 . . . . . . . . 9
4140rspcv 3206 . . . . . . . 8
4221, 37, 41sylc 60 . . . . . . 7
4318ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
4443rpred 11285 . . . . . . . 8
45 rlimcld2.3 . . . . . . . . . . . 12
4645ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11
4746, 21sseldd 3504 . . . . . . . . . 10
487ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
4947, 48subcld 9954 . . . . . . . . 9
5049abscld 13267 . . . . . . . 8
5144, 50lenltd 9752 . . . . . . 7
5242, 51mpbid 210 . . . . . 6
53 id 22 . . . . . . 7
5453imp 429 . . . . . 6
5552, 54nsyl 121 . . . . 5
5655nrexdv 2913 . . . 4
57 rlimcld2.1 . . . . . . . 8
58 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
5958, 1dmmptd 5716 . . . . . . . . . . 11
60 rlimss 13325 . . . . . . . . . . . 12
614, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11
6259, 61eqsstr3d 3538 . . . . . . . . . 10
63 ressxr 9658 . . . . . . . . . 10
6462, 63syl6ss 3515 . . . . . . . . 9
65 supxrunb1 11540 . . . . . . . . 9
6664, 65syl 16 . . . . . . . 8
6757, 66mpbird 232 . . . . . . 7
6867adantr 465 . . . . . 6
6968r19.21bi 2826 . . . . 5
70 r19.29 2992 . . . . . 6
7170expcom 435 . . . . 5
7269, 71syl 16 . . . 4
7356, 72mtod 177 . . 3
7473nrexdv 2913 . 2
7519, 74condan 794 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  [_csb 3434  \cdif 3472  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  cfv 5593  (class class class)co 6296  sup`csup 7920   cc 9511   cr 9512   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   crp 11249   cabs 13067   crli 13308 This theorem is referenced by:  rlimrege0  13402  rlimrecl  13403 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-rlim 13312
 Copyright terms: Public domain W3C validator