MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcld2 Unicode version

Theorem rlimcld2 13401
Description: If is a closed set in the topology of the complex numbers (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in , then the limit of the sequence also lies in . (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1
rlimcld2.2
rlimcld2.3
rlimcld2.4
rlimcld2.5
rlimcld2.6
Assertion
Ref Expression
rlimcld2
Distinct variable groups:   , , ,   , ,   , , ,   , , ,   , , ,   , ,

Proof of Theorem rlimcld2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.6 . . . . 5
21ralrimiva 2871 . . . 4
32adantr 465 . . 3
4 rlimcld2.2 . . . . . . 7
54adantr 465 . . . . . 6
6 rlimcl 13326 . . . . . 6
75, 6syl 16 . . . . 5
8 simpr 461 . . . . 5
97, 8eldifd 3486 . . . 4
10 rlimcld2.4 . . . . . 6
1110ralrimiva 2871 . . . . 5
1211adantr 465 . . . 4
13 nfcsb1v 3450 . . . . . 6
1413nfel1 2635 . . . . 5
15 csbeq1a 3443 . . . . . 6
1615eleq1d 2526 . . . . 5
1714, 16rspc 3204 . . . 4
189, 12, 17sylc 60 . . 3
193, 18, 5rlimi 13336 . 2
201adantlr 714 . . . . . . . . 9
2120adantlr 714 . . . . . . . 8
22 rlimcld2.5 . . . . . . . . . . . . 13
2322ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12
2423ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10
26 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12
27 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13
28 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13
2913, 27, 28nfbr 4496 . . . . . . . . . . . 12
3026, 29nfral 2843 . . . . . . . . . . 11
31 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
3231fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
3315, 32breq12d 4465 . . . . . . . . . . . 12
3433ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11
3530, 34rspc 3204 . . . . . . . . . 10
369, 25, 35sylc 60 . . . . . . . . 9
3736ad2antrr 725 . . . . . . . 8
38 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
3938fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
4039breq2d 4464 . . . . . . . . 9
4140rspcv 3206 . . . . . . . 8
4221, 37, 41sylc 60 . . . . . . 7
4318ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
4443rpred 11285 . . . . . . . 8
45 rlimcld2.3 . . . . . . . . . . . 12
4645ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11
4746, 21sseldd 3504 . . . . . . . . . 10
487ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
4947, 48subcld 9954 . . . . . . . . 9
5049abscld 13267 . . . . . . . 8
5144, 50lenltd 9752 . . . . . . 7
5242, 51mpbid 210 . . . . . 6
53 id 22 . . . . . . 7
5453imp 429 . . . . . 6
5552, 54nsyl 121 . . . . 5
5655nrexdv 2913 . . . 4
57 rlimcld2.1 . . . . . . . 8
58 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
5958, 1dmmptd 5716 . . . . . . . . . . 11
60 rlimss 13325 . . . . . . . . . . . 12
614, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11
6259, 61eqsstr3d 3538 . . . . . . . . . 10
63 ressxr 9658 . . . . . . . . . 10
6462, 63syl6ss 3515 . . . . . . . . 9
65 supxrunb1 11540 . . . . . . . . 9
6664, 65syl 16 . . . . . . . 8
6757, 66mpbird 232 . . . . . . 7
6867adantr 465 . . . . . 6
6968r19.21bi 2826 . . . . 5
70 r19.29 2992 . . . . . 6
7170expcom 435 . . . . 5
7269, 71syl 16 . . . 4
7356, 72mtod 177 . . 3
7473nrexdv 2913 . 2
7519, 74condan 794 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  [_csb 3434  \cdif 3472  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   crp 11249   cabs 13067   crli 13308
This theorem is referenced by:  rlimrege0  13402  rlimrecl  13403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-rlim 13312
  Copyright terms: Public domain W3C validator