Theorem rlimcn1 13411

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn1.1
rlimcn1.2
rlimcn1.3
rlimcn1.4
rlimcn1.5

Assertion

Ref	Expression
rlimcn1

Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,

Proof of Theorem rlimcn1

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn1.1	. . . 4
2	1	ffvelrnda 6031	. . 3
3	1	feqmptd 5926	. . 3
4		rlimcn1.4	. . . 4
5	4	feqmptd 5926	. . 3
6		fveq2 5871	. . 3
7	2, 3, 5, 6	fmptco 6064	. 2
8		rlimcn1.5	. . . . 5
9		fvex 5881	. . . . . . . . . 10
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9
11	10	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8
12		simpr 461	. . . . . . . 8
13		rlimcn1.3	. . . . . . . . . 10
14	3, 13	eqbrtrrd 4474	. . . . . . . . 9
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . 8
16	11, 12, 15	rlimi 13336	. . . . . . 7
17		simpll 753	. . . . . . . . . . . . 13
18	17, 2	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12
19		simplrr 762	. . . . . . . . . . . 12
20		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . 16
21	20	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	21	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . 14
23		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
24	23	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	24	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . 14
27	22, 26	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13
28	27	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . 12
29	18, 19, 28	sylc 60	. . . . . . . . . . 11
30	29	imim2d 52	. . . . . . . . . 10
31	30	ralimdva 2865	. . . . . . . . 9
32	31	reximdv 2931	. . . . . . . 8
33	32	expr 615	. . . . . . 7
34	16, 33	mpid 41	. . . . . 6
35	34	rexlimdva 2949	. . . . 5
36	8, 35	mpd 15	. . . 4
37	36	ralrimiva 2871	. . 3
38	4	ffvelrnda 6031	. . . . . 6
39	2, 38	syldan 470	. . . . 5
40	39	ralrimiva 2871	. . . 4
41		fdm 5740	. . . . . 6
42	1, 41	syl 16	. . . . 5
43		rlimss 13325	. . . . . 6
44	13, 43	syl 16	. . . . 5
45	42, 44	eqsstr3d 3538	. . . 4
46		rlimcn1.2	. . . . 5
47	4, 46	ffvelrnd 6032	. . . 4
48	40, 45, 47	rlim2 13319	. . 3
49	37, 48	mpbird 232	. 2
50	7, 49	eqbrtrd 4472	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  o.ccom 5008  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  crp 11249  cabs 13067  crli 13308

This theorem is referenced by:  rlimcn1b  13412  rlimdiv  13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-pm 7442  df-rlim 13312