MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcn1 Unicode version

Theorem rlimcn1 13411
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcn1.1
rlimcn1.2
rlimcn1.3
rlimcn1.4
rlimcn1.5
Assertion
Ref Expression
rlimcn1
Distinct variable groups:   , ,   , , ,   , , ,   , ,   , , ,   ,

Proof of Theorem rlimcn1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcn1.1 . . . 4
21ffvelrnda 6031 . . 3
31feqmptd 5926 . . 3
4 rlimcn1.4 . . . 4
54feqmptd 5926 . . 3
6 fveq2 5871 . . 3
72, 3, 5, 6fmptco 6064 . 2
8 rlimcn1.5 . . . . 5
9 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
109a1i 11 . . . . . . . . 9
1110ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
12 simpr 461 . . . . . . . 8
13 rlimcn1.3 . . . . . . . . . 10
143, 13eqbrtrrd 4474 . . . . . . . . 9
1514ad2antrr 725 . . . . . . . 8
1611, 12, 15rlimi 13336 . . . . . . 7
17 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13
1817, 2sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
19 simplrr 762 . . . . . . . . . . . 12
20 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . 14
23 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2423oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . 14
2722, 26imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13
2827rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12
2918, 19, 28sylc 60 . . . . . . . . . . 11
3029imim2d 52 . . . . . . . . . 10
3130ralimdva 2865 . . . . . . . . 9
3231reximdv 2931 . . . . . . . 8
3332expr 615 . . . . . . 7
3416, 33mpid 41 . . . . . 6
3534rexlimdva 2949 . . . . 5
368, 35mpd 15 . . . 4
3736ralrimiva 2871 . . 3
384ffvelrnda 6031 . . . . . 6
392, 38syldan 470 . . . . 5
4039ralrimiva 2871 . . . 4
41 fdm 5740 . . . . . 6
421, 41syl 16 . . . . 5
43 rlimss 13325 . . . . . 6
4413, 43syl 16 . . . . 5
4542, 44eqsstr3d 3538 . . . 4
46 rlimcn1.2 . . . . 5
474, 46ffvelrnd 6032 . . . 4
4840, 45, 47rlim2 13319 . . 3
4937, 48mpbird 232 . 2
507, 49eqbrtrd 4472 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  o.ccom 5008  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   crp 11249   cabs 13067   crli 13308
This theorem is referenced by:  rlimcn1b  13412  rlimdiv  13468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-pm 7442  df-rlim 13312
  Copyright terms: Public domain W3C validator