Theorem rlimcn2 13413

Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn2.1a
rlimcn2.1b
rlimcn2.2a
rlimcn2.2b
rlimcn2.3a
rlimcn2.3b
rlimcn2.4
rlimcn2.5

Assertion

Ref	Expression
rlimcn2

Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,   ,,,,   S,,,,,,   ,,,,   ,,   ,,,

Proof of Theorem rlimcn2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn2.5	. . . 4
2		rlimcn2.1a	. . . . . . . . . 10
3	2	ralrimiva 2871	. . . . . . . . 9
4	3	adantr 465	. . . . . . . 8
5		simprl 756	. . . . . . . 8
6		rlimcn2.3a	. . . . . . . . 9
7	6	adantr 465	. . . . . . . 8
8	4, 5, 7	rlimi 13336	. . . . . . 7
9		rlimcn2.1b	. . . . . . . . . 10
10	9	ralrimiva 2871	. . . . . . . . 9
11	10	adantr 465	. . . . . . . 8
12		simprr 757	. . . . . . . 8
13		rlimcn2.3b	. . . . . . . . 9
14	13	adantr 465	. . . . . . . 8
15	11, 12, 14	rlimi 13336	. . . . . . 7
16		reeanv 3025	. . . . . . . 8
17		r19.26 2984	. . . . . . . . . 10
18		prth 571	. . . . . . . . . . . . 13
19		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . . 15
20		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15
21		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22	21, 2	dmmptd 5716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23		rlimss 13325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
24	6, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
25	22, 24	eqsstr3d 3538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
26	25	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16
27	26	sselda 3503	. . . . . . . . . . . . . . 15
28		maxle 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	19, 20, 27, 28	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14
30	29	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . . 13
31	18, 30	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . 12
32	31	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . 11
33		ifcl 3983	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	33	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	34	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14
36	2	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
37	9	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38	36, 37	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
40	39	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
41	40	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
42	41	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
44	43	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
45	44	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
46	45	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
47	42, 46	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
49	48	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
50	49	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
51	50	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
52		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
53	52	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
54	53	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55	54	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	51, 55	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	47, 56	rspc2va 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58	38, 57	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59	58	imim2d 52	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	59	an32s 804	. . . . . . . . . . . . . . . 16
61	60	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	61	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14
63		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64	63	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65	64	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . . . . . 15
66	65	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . . 14
67	35, 62, 66	syl6an 545	. . . . . . . . . . . . 13
68	67	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
69	68	com23 78	. . . . . . . . . . 11
70	32, 69	syld 44	. . . . . . . . . 10
71	17, 70	syl5bir 218	. . . . . . . . 9
72	71	rexlimdvva 2956	. . . . . . . 8
73	16, 72	syl5bir 218	. . . . . . 7
74	8, 15, 73	mp2and 679	. . . . . 6
75	74	rexlimdvva 2956	. . . . 5
76	75	imp 429	. . . 4
77	1, 76	syldan 470	. . 3
78	77	ralrimiva 2871	. 2
79		rlimcn2.4	. . . . . 6
80	79	adantr 465	. . . . 5
81	80, 2, 9	fovrnd 6447	. . . 4
82	81	ralrimiva 2871	. . 3
83		rlimcn2.2a	. . . 4
84		rlimcn2.2b	. . . 4
85	79, 83, 84	fovrnd 6447	. . 3
86	82, 25, 85	rlim2 13319	. 2
87	78, 86	mpbird 232	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  crp 11249  cabs 13067  crli 13308

This theorem is referenced by:  rlimadd  13465  rlimsub  13466  rlimmul  13467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-rlim 13312