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Theorem rlimcn2 13413
 Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcn2.1a
rlimcn2.1b
rlimcn2.2a
rlimcn2.2b
rlimcn2.3a
rlimcn2.3b
rlimcn2.4
rlimcn2.5
Assertion
Ref Expression
rlimcn2
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,   ,,,,   S,,,,,,   ,,,,   ,,   ,,,

Proof of Theorem rlimcn2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcn2.5 . . . 4
2 rlimcn2.1a . . . . . . . . . 10
32ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
43adantr 465 . . . . . . . 8
5 simprl 756 . . . . . . . 8
6 rlimcn2.3a . . . . . . . . 9
76adantr 465 . . . . . . . 8
84, 5, 7rlimi 13336 . . . . . . 7
9 rlimcn2.1b . . . . . . . . . 10
109ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
1110adantr 465 . . . . . . . 8
12 simprr 757 . . . . . . . 8
13 rlimcn2.3b . . . . . . . . 9
1413adantr 465 . . . . . . . 8
1511, 12, 14rlimi 13336 . . . . . . 7
16 reeanv 3025 . . . . . . . 8
17 r19.26 2984 . . . . . . . . . 10
18 prth 571 . . . . . . . . . . . . 13
19 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2221, 2dmmptd 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23 rlimss 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
246, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2522, 24eqsstr3d 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 maxle 11420 . . . . . . . . . . . . . . 15
2919, 20, 27, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
3029imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . 13
3118, 30syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . 12
3231ralimdva 2865 . . . . . . . . . . 11
33 ifcl 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
362adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
379adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3836, 37jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4039fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4140breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4241anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4443oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4544fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4645breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4742, 46imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4948fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5049breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5150anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
52 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5352oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5453fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5554breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5651, 55imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5747, 56rspc2va 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5838, 57sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5958imim2d 52 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14
63 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6564ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . 14
6735, 62, 66syl6an 545 . . . . . . . . . . . . 13
6867ex 434 . . . . . . . . . . . 12
6968com23 78 . . . . . . . . . . 11
7032, 69syld 44 . . . . . . . . . 10
7117, 70syl5bir 218 . . . . . . . . 9
7271rexlimdvva 2956 . . . . . . . 8
7316, 72syl5bir 218 . . . . . . 7
748, 15, 73mp2and 679 . . . . . 6
7574rexlimdvva 2956 . . . . 5
7675imp 429 . . . 4
771, 76syldan 470 . . 3
7877ralrimiva 2871 . 2
79 rlimcn2.4 . . . . . 6
8079adantr 465 . . . . 5
8180, 2, 9fovrnd 6447 . . . 4
8281ralrimiva 2871 . . 3
83 rlimcn2.2a . . . 4
84 rlimcn2.2b . . . 4
8579, 83, 84fovrnd 6447 . . 3
8682, 25, 85rlim2 13319 . 2
8778, 86mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   crp 11249   cabs 13067   crli 13308 This theorem is referenced by:  rlimadd  13465  rlimsub  13466  rlimmul  13467 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-rlim 13312
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