MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp2 Unicode version

Theorem rlimcnp2 22760
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function S(y)= (1 y) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp2.a
rlimcnp2.0
rlimcnp2.b
rlimcnp2.c
rlimcnp2.r
rlimcnp2.d
rlimcnp2.s
rlimcnp2.j
rlimcnp2.k
Assertion
Ref Expression
rlimcnp2
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   , ,   ,   ,S

Proof of Theorem rlimcnp2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3684 . . . . . . . 8
2 resmpt 5274 . . . . . . . 8
31, 2mp1i 12 . . . . . . 7
4 0xr 9567 . . . . . . . . . . 11
5 0lt1 9999 . . . . . . . . . . 11
6 df-ioo 11443 . . . . . . . . . . . 12
7 df-ico 11445 . . . . . . . . . . . 12
8 xrltletr 11270 . . . . . . . . . . . 12
96, 7, 8ixxss1 11457 . . . . . . . . . . 11
104, 5, 9mp2an 672 . . . . . . . . . 10
11 ioorp 11512 . . . . . . . . . 10
1210, 11sseqtri 3502 . . . . . . . . 9
13 sslin 3690 . . . . . . . . 9
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8
15 resmpt 5274 . . . . . . . 8
1614, 15mp1i 12 . . . . . . 7
173, 16eqtr4d 2498 . . . . . 6
18 resres 5240 . . . . . 6
19 resres 5240 . . . . . 6
2017, 18, 193eqtr4g 2520 . . . . 5
21 rlimcnp2.r . . . . . . . . 9
22 eqid 2454 . . . . . . . . 9
2321, 22fmptd 5990 . . . . . . . 8
24 ffn 5679 . . . . . . . 8
2523, 24syl 16 . . . . . . 7
26 fnresdm 5639 . . . . . . 7
2725, 26syl 16 . . . . . 6
2827reseq1d 5226 . . . . 5
29 inss1 3684 . . . . . . . . . . 11
3029sseli 3466 . . . . . . . . . 10
3130, 21sylan2 474 . . . . . . . . 9
32 eqid 2454 . . . . . . . . 9
3331, 32fmptd 5990 . . . . . . . 8
34 frel 5682 . . . . . . . 8
3533, 34syl 16 . . . . . . 7
36 fdm 5683 . . . . . . . . 9
3733, 36syl 16 . . . . . . . 8
3837, 29syl6eqss 3520 . . . . . . 7
39 relssres 5265 . . . . . . 7
4035, 38, 39syl2anc 661 . . . . . 6
4140reseq1d 5226 . . . . 5
4220, 28, 413eqtr3d 2503 . . . 4
4342breq1d 4419 . . 3
44 rlimcnp2.b . . . 4
45 1red 9538 . . . 4
4623, 44, 45rlimresb 13201 . . 3
4729, 44syl5ss 3481 . . . 4
4833, 47, 45rlimresb 13201 . . 3
4943, 46, 483bitr4d 285 . 2
50 inss2 3685 . . . . . . . . . . 11
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10
5251sselda 3470 . . . . . . . . 9
5352rpreccld 11176 . . . . . . . 8
5453rpne0d 11171 . . . . . . 7
5554neneqd 2655 . . . . . 6
56 iffalse 3914 . . . . . 6
5755, 56syl 16 . . . . 5
58 oveq2 6230 . . . . . . . . . 10
59 rpcnne0 11147 . . . . . . . . . . 11
60 recrec 10165 . . . . . . . . . . 11
6152, 59, 603syl 20 . . . . . . . . . 10
6258, 61sylan9eqr 2517 . . . . . . . . 9
6362eqcomd 2462 . . . . . . . 8
64 rlimcnp2.s . . . . . . . 8
6563, 64syl 16 . . . . . . 7
6665eqcomd 2462 . . . . . 6
6753, 66csbied 3428 . . . . 5
6857, 67eqtrd 2495 . . . 4
6968mpteq2dva 4495 . . 3
7069breq1d 4419 . 2
71 rlimcnp2.a . . . 4
72 rlimcnp2.0 . . . 4
73 rlimcnp2.c . . . . . 6
7473ad2antrr 725 . . . . 5
7571sselda 3470 . . . . . . . . . . . 12
76 0re 9523 . . . . . . . . . . . . 13
77 pnfxr 11231 . . . . . . . . . . . . 13
78 elico2 11498 . . . . . . . . . . . . 13
7976, 77, 78mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12
8075, 79sylib 196 . . . . . . . . . . 11
8180simp1d 1000 . . . . . . . . . 10
8281adantr 465 . . . . . . . . 9
8380simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . 14
84 leloe 9598 . . . . . . . . . . . . . . 15
8576, 81, 84sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14
8683, 85mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
8786ord 377 . . . . . . . . . . . 12
88 eqcom 2463 . . . . . . . . . . . 12
8987, 88syl6ib 226 . . . . . . . . . . 11
9089con1d 124 . . . . . . . . . 10
9190imp 429 . . . . . . . . 9
9282, 91elrpd 11164 . . . . . . . 8
93 rpcnne0 11147 . . . . . . . . 9
94 recrec 10165 . . . . . . . . 9
9593, 94syl 16 . . . . . . . 8
9692, 95syl 16 . . . . . . 7
9796csbeq1d 3408 . . . . . 6
98 simplr 754 . . . . . . . . 9
99 simpll 753 . . . . . . . . . 10
100 rpreccl 11153 . . . . . . . . . . . . 13
101100adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
102 rlimcnp2.d . . . . . . . . . . . . . 14
103102ralrimiva 2831 . . . . . . . . . . . . 13
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
105 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . 14
106 oveq2 6230 . . . . . . . . . . . . . . 15
107106eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14
108105, 107bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13
109108rspcv 3178 . . . . . . . . . . . 12
110101, 104, 109sylc 60 . . . . . . . . . . 11
11195adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
112111eleq1d 2523 . . . . . . . . . . 11
113110, 112bitr2d 254 . . . . . . . . . 10
11499, 92, 113syl2anc 661 . . . . . . . . 9
11598, 114mpbid 210 . . . . . . . 8
11692rpreccld 11176 . . . . . . . 8
117115, 116elind 3654 . . . . . . 7
11867, 31eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9
119118ralrimiva 2831 . . . . . . . 8
120119ad2antrr 725 . . . . . . 7
121106csbeq1d 3408 . . . . . . . . 9
122121eleq1d 2523 . . . . . . . 8
123122rspcv 3178 . . . . . . 7
124117, 120, 123sylc 60 . . . . . 6
12597, 124eqeltrrd 2543 . . . . 5
12674, 125ifclda 3937 . . . 4
127101biantrud 507 . . . . . 6
128113, 127bitrd 253 . . . . 5
129 elin 3653 . . . . 5
130128, 129syl6bbr 263 . . . 4
131 iftrue 3911 . . . 4
132 eqeq1 2458 . . . . 5
133 csbeq1 3404 . . . . 5
134132, 133ifbieq2d 3930 . . . 4
135 rlimcnp2.j . . . 4
136 rlimcnp2.k . . . 4
13771, 72, 51, 126, 130, 131, 134, 135, 136rlimcnp 22759 . . 3
138 nfcv 2616 . . . . 5
139 nfv 1674 . . . . . 6
140 nfcv 2616 . . . . . 6
141 nfcsb1v 3417 . . . . . 6
142139, 140, 141nfif 3934 . . . . 5
143 eqeq1 2458 . . . . . 6
144 csbeq1a 3410 . . . . . 6
145143, 144ifbieq2d 3930 . . . . 5
146138, 142, 145cbvmpt 4499 . . . 4
147146eleq1i 2531 . . 3
148137, 147syl6bbr 263 . 2
14949, 70, 1483bitr2d 281 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  A.wral 2800  [_csb 3401  i^icin 3441  C_wss 3442  ifcif 3905   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467  domcdm 4957  |`cres 4959  Relwrel 4962  Fnwfn 5532  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cc 9417   cr 9418  0cc0 9419  1c1 9420   cpnf 9552   cxr 9554   clt 9555   cle 9556   cdiv 10130   crp 11130   cioo 11439   cico 11441   crli 13121   crest 14518   ctopn 14519   ccnfld 18011   ccnp 19228
This theorem is referenced by:  rlimcnp3  22761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-sup 7827  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-ioo 11443  df-ico 11445  df-fz 11583  df-seq 11964  df-exp 12023  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-rlim 13125  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-rest 14520  df-topn 14521  df-topgen 14541  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-cnfld 18012  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-cnp 19231
  Copyright terms: Public domain W3C validator