Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi Unicode version

Theorem rlimi 13336
 Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1
rlimi.2
rlimi.3
Assertion
Ref Expression
rlimi
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,

Proof of Theorem rlimi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimi.2 . 2
2 rlimi.3 . . 3
3 rlimf 13324 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6
5 rlimi.1 . . . . . . . . 9
6 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
76fmpt 6052 . . . . . . . . 9
85, 7sylib 196 . . . . . . . 8
9 fdm 5740 . . . . . . . 8
108, 9syl 16 . . . . . . 7
1110feq2d 5723 . . . . . 6
124, 11mpbid 210 . . . . 5
136fmpt 6052 . . . . 5
1412, 13sylibr 212 . . . 4
15 rlimss 13325 . . . . . 6
162, 15syl 16 . . . . 5
1710, 16eqsstr3d 3538 . . . 4
18 rlimcl 13326 . . . . 5
192, 18syl 16 . . . 4
2014, 17, 19rlim2 13319 . . 3
212, 20mpbid 210 . 2
22 breq2 4456 . . . . 5
2322imbi2d 316 . . . 4
2423rexralbidv 2976 . . 3
2524rspcv 3206 . 2
261, 21, 25sylc 60 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   crp 11249   cabs 13067   crli 13308 This theorem is referenced by:  rlimi2  13337  rlimclim1  13368  rlimuni  13373  rlimcld2  13401  rlimcn1  13411  rlimcn2  13413  rlimo1  13439  o1rlimmul  13441  rlimno1  13476  xrlimcnp  23298  rlimcxp  23303  chtppilimlem2  23659  dchrisumlem3  23676 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-pm 7442  df-rlim 13312
 Copyright terms: Public domain W3C validator