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Theorem rlimno1 13476
Description: A function whose inverse converges to zero is unbounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimno1.1
rlimno1.2
rlimno1.3
rlimno1.4
Assertion
Ref Expression
rlimno1
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem rlimno1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fal 1402 . . . 4
2 rlimno1.3 . . . . . . . . 9
3 rlimno1.4 . . . . . . . . 9
42, 3reccld 10338 . . . . . . . 8
54ralrimiva 2871 . . . . . . 7
65adantr 465 . . . . . 6
7 simpr 461 . . . . . . . . 9
8 1re 9616 . . . . . . . . 9
9 ifcl 3983 . . . . . . . . 9
107, 8, 9sylancl 662 . . . . . . . 8
11 1rp 11253 . . . . . . . . 9
1211a1i 11 . . . . . . . 8
13 max1 11415 . . . . . . . . 9
148, 7, 13sylancr 663 . . . . . . . 8
1510, 12, 14rpgecld 11320 . . . . . . 7
1615rpreccld 11295 . . . . . 6
17 rlimno1.2 . . . . . . 7
1817adantr 465 . . . . . 6
196, 16, 18rlimi 13336 . . . . 5
20 dmmptg 5509 . . . . . . . . . 10
215, 20syl 16 . . . . . . . . 9
22 rlimss 13325 . . . . . . . . . 10
2317, 22syl 16 . . . . . . . . 9
2421, 23eqsstr3d 3538 . . . . . . . 8
2524adantr 465 . . . . . . 7
26 rexanre 13179 . . . . . . 7
2725, 26syl 16 . . . . . 6
28 rlimno1.1 . . . . . . . . 9
29 ressxr 9658 . . . . . . . . . . 11
3024, 29syl6ss 3515 . . . . . . . . . 10
31 supxrunb1 11540 . . . . . . . . . 10
3230, 31syl 16 . . . . . . . . 9
3328, 32mpbird 232 . . . . . . . 8
3433adantr 465 . . . . . . 7
35 r19.29 2992 . . . . . . . 8
36 r19.29r 2993 . . . . . . . . . 10
372adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
383adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3937, 38absrpcld 13279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
428a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
43 0le1 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4540rpred 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
467ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4710ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
49 max2 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
508, 46, 49sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5145, 46, 47, 48, 50letrd 9760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5240, 41, 42, 44, 51lediv2ad 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5341rprecred 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5440rprecred 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5553, 54lenltd 9752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5652, 55mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5737adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5838adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5957, 58reccld 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6059subid1d 9943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6160fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
62 1cnd 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6362, 57, 58absdivd 13286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6442, 44absidd 13254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6564oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6661, 63, 653eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6766breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6856, 67mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170ancomsd 454 . . . . . . . . . . . . . 14
7271imim2d 52 . . . . . . . . . . . . 13
7372com23 78 . . . . . . . . . . . 12
7473impd 431 . . . . . . . . . . 11
7574rexlimdva 2949 . . . . . . . . . 10
7636, 75syl5 32 . . . . . . . . 9
7776rexlimdvw 2952 . . . . . . . 8
7835, 77syl5 32 . . . . . . 7
7934, 78mpand 675 . . . . . 6
8027, 79sylbird 235 . . . . 5
8119, 80mpand 675 . . . 4
821, 81mtoi 178 . . 3
8382nrexdv 2913 . 2
8424, 2elo1mpt 13357 . . 3
85 rexcom 3019 . . 3
8684, 85syl6bb 261 . 2
8783, 86mtbird 301 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395   wfal 1400  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   crp 11249   cabs 13067   crli 13308   co1 13309
This theorem is referenced by:  logno1  23017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-rlim 13312  df-o1 13313  df-lo1 13314
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