Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimo1 Unicode version

Theorem rlimo1 13439
 Description: Any function with a finite limit is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimo1

Proof of Theorem rlimo1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimf 13324 . . . . . 6
21ffvelrnda 6031 . . . . 5
32ralrimiva 2871 . . . 4
4 1rp 11253 . . . . 5
54a1i 11 . . . 4
61feqmptd 5926 . . . . 5
7 id 22 . . . . 5
86, 7eqbrtrrd 4474 . . . 4
93, 5, 8rlimi 13336 . . 3
10 rlimcl 13326 . . . . . . . 8
1110adantr 465 . . . . . . 7
1211abscld 13267 . . . . . 6
13 peano2re 9774 . . . . . 6
1412, 13syl 16 . . . . 5
152adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
1611adantr 465 . . . . . . . . . . 11
1715, 16abs2difd 13288 . . . . . . . . . 10
1815abscld 13267 . . . . . . . . . . . 12
1912adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19resubcld 10012 . . . . . . . . . . 11
2115, 16subcld 9954 . . . . . . . . . . . 12
2221abscld 13267 . . . . . . . . . . 11
23 1red 9632 . . . . . . . . . . 11
24 lelttr 9696 . . . . . . . . . . 11
2520, 22, 23, 24syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
2617, 25mpand 675 . . . . . . . . 9
2718, 19, 23ltsubadd2d 10175 . . . . . . . . 9
2826, 27sylibd 214 . . . . . . . 8
2914adantr 465 . . . . . . . . 9
30 ltle 9694 . . . . . . . . 9
3118, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8
3228, 31syld 44 . . . . . . 7
3332imim2d 52 . . . . . 6
3433ralimdva 2865 . . . . 5
35 breq2 4456 . . . . . . . 8
3635imbi2d 316 . . . . . . 7
3736ralbidv 2896 . . . . . 6
3837rspcev 3210 . . . . 5
3914, 34, 38syl6an 545 . . . 4
4039reximdva 2932 . . 3
419, 40mpd 15 . 2
42 rlimss 13325 . . 3
43 elo12 13350 . . 3
441, 42, 43syl2anc 661 . 2
4541, 44mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  1`c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   crp 11249   cabs 13067   crli 13308   co1 13309 This theorem is referenced by:  rlimdmo1  13440  o1const  13442  chebbnd2  23662  chto1lb  23663  chpo1ub  23665  vmadivsum  23667  dchrvmasumlem2  23683  dchrisum0lem1  23701  dchrisum0lem2a  23702  mudivsum  23715  mulog2sumlem2  23720  vmalogdivsum2  23723  2vmadivsumlem  23725  selberglem2  23731  selberg2lem  23735  selberg4lem1  23745  pntrsumo1  23750  pntrlog2bndlem2  23763  pntrlog2bndlem4  23765  pntrlog2bndlem5  23766 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-rlim 13312  df-o1 13313
 Copyright terms: Public domain W3C validator