MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimrege0 Unicode version

Theorem rlimrege0 13402
Description: The limit of a sequence of complex numbers with nonnegative real part has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1
rlimcld2.2
rlimrege0.4
rlimrege0.5
Assertion
Ref Expression
rlimrege0
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem rlimrege0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.1 . . 3
2 rlimcld2.2 . . 3
3 ssrab2 3584 . . . 4
43a1i 11 . . 3
5 eldifi 3625 . . . . . . 7
65adantl 466 . . . . . 6
76recld 13027 . . . . 5
87renegcld 10011 . . . 4
9 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
109breq2d 4464 . . . . . . . . . 10
1110notbid 294 . . . . . . . . 9
12 notrab 3774 . . . . . . . . 9
1311, 12elrab2 3259 . . . . . . . 8
1413simprbi 464 . . . . . . 7
1514adantl 466 . . . . . 6
16 0re 9617 . . . . . . 7
17 ltnle 9685 . . . . . . 7
187, 16, 17sylancl 662 . . . . . 6
1915, 18mpbird 232 . . . . 5
207lt0neg1d 10147 . . . . 5
2119, 20mpbid 210 . . . 4
228, 21elrpd 11283 . . 3
238adantr 465 . . . 4
24 elrabi 3254 . . . . . . 7
2524adantl 466 . . . . . 6
266adantr 465 . . . . . 6
2725, 26subcld 9954 . . . . 5
2827recld 13027 . . . 4
2927abscld 13267 . . . 4
30 0red 9618 . . . . . 6
3125recld 13027 . . . . . 6
3226recld 13027 . . . . . 6
33 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
3433breq2d 4464 . . . . . . . . 9
3534elrab 3257 . . . . . . . 8
3635simprbi 464 . . . . . . 7
3736adantl 466 . . . . . 6
3830, 31, 32, 37lesub1dd 10193 . . . . 5
39 df-neg 9831 . . . . . 6
4039a1i 11 . . . . 5
4125, 26resubd 13049 . . . . 5
4238, 40, 413brtr4d 4482 . . . 4
4327releabsd 13282 . . . 4
4423, 28, 29, 42, 43letrd 9760 . . 3
45 rlimrege0.4 . . . 4
46 rlimrege0.5 . . . 4
47 fveq2 5871 . . . . . 6
4847breq2d 4464 . . . . 5
4948elrab 3257 . . . 4
5045, 46, 49sylanbrc 664 . . 3
511, 2, 4, 22, 44, 50rlimcld2 13401 . 2
52 fveq2 5871 . . . . 5
5352breq2d 4464 . . . 4
5453elrab 3257 . . 3
5554simprbi 464 . 2
5651, 55syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  \cdif 3472  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cmin 9828  -ucneg 9829   cre 12930   cabs 13067   crli 13308
This theorem is referenced by:  rlimge0  13404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-rlim 13312
  Copyright terms: Public domain W3C validator