MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimres Unicode version

Theorem rlimres 13381
Description: The restriction of a function converges if the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimres

Proof of Theorem rlimres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3717 . . . . . . . 8
2 ssralv 3563 . . . . . . . 8
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7
43reximi 2925 . . . . . 6
54ralimi 2850 . . . . 5
65anim2i 569 . . . 4
76a1i 11 . . 3
8 rlimf 13324 . . . 4
9 rlimss 13325 . . . 4
10 eqidd 2458 . . . 4
118, 9, 10rlim 13318 . . 3
12 fssres 5756 . . . . . 6
138, 1, 12sylancl 662 . . . . 5
14 resres 5291 . . . . . . 7
15 ffn 5736 . . . . . . . . 9
16 fnresdm 5695 . . . . . . . . 9
178, 15, 163syl 20 . . . . . . . 8
1817reseq1d 5277 . . . . . . 7
1914, 18syl5eqr 2512 . . . . . 6
2019feq1d 5722 . . . . 5
2113, 20mpbid 210 . . . 4
221, 9syl5ss 3514 . . . 4
23 inss2 3718 . . . . . . 7
2423sseli 3499 . . . . . 6
25 fvres 5885 . . . . . 6
2624, 25syl 16 . . . . 5
2726adantl 466 . . . 4
2821, 22, 27rlim 13318 . . 3
297, 11, 283imtr4d 268 . 2
3029pm2.43i 47 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  domcdm 5004  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   crp 11249   cabs 13067   crli 13308
This theorem is referenced by:  rlimres2  13384  pnt  23799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-pm 7442  df-rlim 13312
  Copyright terms: Public domain W3C validator