MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimresb Unicode version

Theorem rlimresb 13388
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1
rlimresb.2
rlimresb.3
Assertion
Ref Expression
rlimresb

Proof of Theorem rlimresb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcl 13326 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 rlimcl 13326 . . . 4
43a1i 11 . . 3
5 rlimresb.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
86, 7sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11 elicopnf 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1312biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1413adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1514simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1614simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1810, 15, 8, 16, 17letrd 9760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19 elicopnf 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2010, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
218, 18, 20mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14
24 biimt 335 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
2625pm5.74da 687 . . . . . . . . . . . 12
27 bi2.04 361 . . . . . . . . . . . 12
2826, 27syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11
2928pm5.74da 687 . . . . . . . . . 10
30 elin 3686 . . . . . . . . . . . 12
3130imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11
32 impexp 446 . . . . . . . . . . 11
3331, 32bitri 249 . . . . . . . . . 10
3429, 33syl6bbr 263 . . . . . . . . 9
3534ralbidv2 2892 . . . . . . . 8
3635rexbidva 2965 . . . . . . 7
3736ralbidv 2896 . . . . . 6
3837adantr 465 . . . . 5
39 rlimresb.1 . . . . . . . . 9
4039ffvelrnda 6031 . . . . . . . 8
4140ralrimiva 2871 . . . . . . 7
4241adantr 465 . . . . . 6
435adantr 465 . . . . . 6
44 simpr 461 . . . . . 6
459adantr 465 . . . . . 6
4642, 43, 44, 45rlim3 13321 . . . . 5
47 inss1 3717 . . . . . . . . . 10
4847sseli 3499 . . . . . . . . 9
4948, 40sylan2 474 . . . . . . . 8
5049ralrimiva 2871 . . . . . . 7
5150adantr 465 . . . . . 6
5247, 5syl5ss 3514 . . . . . . 7
5352adantr 465 . . . . . 6
5451, 53, 44, 45rlim3 13321 . . . . 5
5538, 46, 543bitr4d 285 . . . 4
5655ex 434 . . 3
572, 4, 56pm5.21ndd 354 . 2
5839feqmptd 5926 . . 3
5958breq1d 4462 . 2
60 resres 5291 . . . 4
61 ffn 5736 . . . . . 6
62 fnresdm 5695 . . . . . 6
6339, 61, 623syl 20 . . . . 5
6463reseq1d 5277 . . . 4
6558reseq1d 5277 . . . . 5
66 resmpt 5328 . . . . . 6
6747, 66ax-mp 5 . . . . 5
6865, 67syl6eq 2514 . . . 4
6960, 64, 683eqtr3a 2522 . . 3
7069breq1d 4462 . 2
7157, 59, 703bitr4d 285 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512   cpnf 9646   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   crp 11249   cico 11560   cabs 13067   crli 13308
This theorem is referenced by:  rlimeq  13392  rlimcnp2  23296  cxp2lim  23306  pnt2  23798  pnt  23799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ico 11564  df-rlim 13312
  Copyright terms: Public domain W3C validator