MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimsqzlem Unicode version

Theorem rlimsqzlem 13471
Description: Lemma for rlimsqz 13472 and rlimsqz2 13473. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimsqzlem.m
rlimsqzlem.e
rlimsqzlem.1
rlimsqzlem.2
rlimsqzlem.3
rlimsqzlem.4
Assertion
Ref Expression
rlimsqzlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,M

Proof of Theorem rlimsqzlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimsqzlem.1 . 2
2 rlimsqzlem.m . . . . . . . . . . . . 13
32ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12
42ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
5 elicopnf 11649 . . . . . . . . . . . . . . 15
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
76simprbda 623 . . . . . . . . . . . . 13
87adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12
9 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10 rlimsqzlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119, 10dmmptd 5716 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 rlimss 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1411, 13eqsstr3d 3538 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
1615sselda 3503 . . . . . . . . . . . . 13
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
186simplbda 624 . . . . . . . . . . . . 13
1918adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12
20 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
213, 8, 17, 19, 20letrd 9760 . . . . . . . . . . 11
22 rlimsqzlem.4 . . . . . . . . . . . . 13
2322anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12
2423adantllr 718 . . . . . . . . . . 11
2521, 24syldan 470 . . . . . . . . . 10
26 rlimsqzlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 rlimsqzlem.e . . . . . . . . . . . . . . . 16
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
2926, 28subcld 9954 . . . . . . . . . . . . . 14
3029abscld 13267 . . . . . . . . . . . . 13
3130adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
3231adantr 465 . . . . . . . . . . 11
33 rlimcl 13326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
341, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
3610, 35subcld 9954 . . . . . . . . . . . . . 14
3736abscld 13267 . . . . . . . . . . . . 13
3837adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
3938adantr 465 . . . . . . . . . . 11
40 rpre 11255 . . . . . . . . . . . 12
4140ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11
42 lelttr 9696 . . . . . . . . . . 11
4332, 39, 41, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
4425, 43mpand 675 . . . . . . . . 9
4544expr 615 . . . . . . . 8
4645an32s 804 . . . . . . 7
4746a2d 26 . . . . . 6
4847ralimdva 2865 . . . . 5
4948reximdva 2932 . . . 4
5049ralimdva 2865 . . 3
5110ralrimiva 2871 . . . 4
5251, 14, 34, 2rlim3 13321 . . 3
5326ralrimiva 2871 . . . 4
5453, 14, 27, 2rlim3 13321 . . 3
5550, 52, 543imtr4d 268 . 2
561, 55mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512   cpnf 9646   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   crp 11249   cico 11560   cabs 13067   crli 13308
This theorem is referenced by:  rlimsqz  13472  rlimsqz2  13473  cxploglim2  23308  logfacrlim  23499  logexprlim  23500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-rlim 13312
  Copyright terms: Public domain W3C validator