MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimuni Unicode version

Theorem rlimuni 13373
Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1
rlimuni.2
rlimuni.3
rlimuni.4
Assertion
Ref Expression
rlimuni

Proof of Theorem rlimuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimuni.3 . . . . . . . . . . . 12
2 rlimcl 13326 . . . . . . . . . . . 12
31, 2syl 16 . . . . . . . . . . 11
43ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
5 rlimuni.4 . . . . . . . . . . . 12
6 rlimcl 13326 . . . . . . . . . . . 12
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
94, 8subcld 9954 . . . . . . . . 9
109abscld 13267 . . . . . . . 8
1110ltnrd 9740 . . . . . . 7
12 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14
1514, 4abssubd 13284 . . . . . . . . . . . . 13
1615breq1d 4462 . . . . . . . . . . . 12
1716anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11
18 abs3lem 13171 . . . . . . . . . . . 12
194, 8, 14, 10, 18syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11
2017, 19sylbid 215 . . . . . . . . . 10
2120imim2d 52 . . . . . . . . 9
2221com23 78 . . . . . . . 8
2322impd 431 . . . . . . 7
2411, 23mtod 177 . . . . . 6
2524nrexdv 2913 . . . . 5
26 r19.29r 2993 . . . . 5
2725, 26nsyl 121 . . . 4
2827nrexdv 2913 . . 3
29 rlimuni.2 . . . . 5
30 fdm 5740 . . . . . . . . 9
3112, 30syl 16 . . . . . . . 8
32 rlimss 13325 . . . . . . . . 9
331, 32syl 16 . . . . . . . 8
3431, 33eqsstr3d 3538 . . . . . . 7
35 ressxr 9658 . . . . . . 7
3634, 35syl6ss 3515 . . . . . 6
37 supxrunb1 11540 . . . . . 6
3836, 37syl 16 . . . . 5
3929, 38mpbird 232 . . . 4
40 r19.29 2992 . . . . 5
4140ex 434 . . . 4
4239, 41syl 16 . . 3
4328, 42mtod 177 . 2
4412adantr 465 . . . . . . 7
45 ffvelrn 6029 . . . . . . . 8
4645ralrimiva 2871 . . . . . . 7
4744, 46syl 16 . . . . . 6
483adantr 465 . . . . . . . . 9
497adantr 465 . . . . . . . . 9
5048, 49subcld 9954 . . . . . . . 8
51 simpr 461 . . . . . . . . 9
5248, 49, 51subne0d 9963 . . . . . . . 8
5350, 52absrpcld 13279 . . . . . . 7
5453rphalfcld 11297 . . . . . 6
5544feqmptd 5926 . . . . . . 7
561adantr 465 . . . . . . 7
5755, 56eqbrtrrd 4474 . . . . . 6
5847, 54, 57rlimi 13336 . . . . 5
595adantr 465 . . . . . . 7
6055, 59eqbrtrrd 4474 . . . . . 6
6147, 54, 60rlimi 13336 . . . . 5
6234adantr 465 . . . . . 6
63 rexanre 13179 . . . . . 6
6462, 63syl 16 . . . . 5
6558, 61, 64mpbir2and 922 . . . 4
6665ex 434 . . 3
6766necon1bd 2675 . 2
6843, 67mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231  2c2 10610   cabs 13067   crli 13308
This theorem is referenced by:  rlimdm  13374  rlimdmafv  32262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-rlim 13312
  Copyright terms: Public domain W3C validator