Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimuni Unicode version

Theorem rlimuni 13373
 Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1
rlimuni.2
rlimuni.3
rlimuni.4
Assertion
Ref Expression
rlimuni

Proof of Theorem rlimuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimuni.3 . . . . . . . . . . . 12
2 rlimcl 13326 . . . . . . . . . . . 12
31, 2syl 16 . . . . . . . . . . 11
43ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
5 rlimuni.4 . . . . . . . . . . . 12
6 rlimcl 13326 . . . . . . . . . . . 12
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
94, 8subcld 9954 . . . . . . . . 9
109abscld 13267 . . . . . . . 8
1110ltnrd 9740 . . . . . . 7
12 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14
1514, 4abssubd 13284 . . . . . . . . . . . . 13
1615breq1d 4462 . . . . . . . . . . . 12
1716anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11
18 abs3lem 13171 . . . . . . . . . . . 12
194, 8, 14, 10, 18syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11
2017, 19sylbid 215 . . . . . . . . . 10
2120imim2d 52 . . . . . . . . 9
2221com23 78 . . . . . . . 8
2322impd 431 . . . . . . 7
2411, 23mtod 177 . . . . . 6
2524nrexdv 2913 . . . . 5
26 r19.29r 2993 . . . . 5
2725, 26nsyl 121 . . . 4
2827nrexdv 2913 . . 3
29 rlimuni.2 . . . . 5
30 fdm 5740 . . . . . . . . 9
3112, 30syl 16 . . . . . . . 8
32 rlimss 13325 . . . . . . . . 9
331, 32syl 16 . . . . . . . 8
3431, 33eqsstr3d 3538 . . . . . . 7
35 ressxr 9658 . . . . . . 7
3634, 35syl6ss 3515 . . . . . 6
37 supxrunb1 11540 . . . . . 6
3836, 37syl 16 . . . . 5
3929, 38mpbird 232 . . . 4
40 r19.29 2992 . . . . 5
4140ex 434 . . . 4
4239, 41syl 16 . . 3
4328, 42mtod 177 . 2
4412adantr 465 . . . . . . 7
45 ffvelrn 6029 . . . . . . . 8
4645ralrimiva 2871 . . . . . . 7
4744, 46syl 16 . . . . . 6
483adantr 465 . . . . . . . . 9
497adantr 465 . . . . . . . . 9
5048, 49subcld 9954 . . . . . . . 8
51 simpr 461 . . . . . . . . 9
5248, 49, 51subne0d 9963 . . . . . . . 8
5350, 52absrpcld 13279 . . . . . . 7
5453rphalfcld 11297 . . . . . 6
5544feqmptd 5926 . . . . . . 7
561adantr 465 . . . . . . 7
5755, 56eqbrtrrd 4474 . . . . . 6
5847, 54, 57rlimi 13336 . . . . 5
595adantr 465 . . . . . . 7
6055, 59eqbrtrrd 4474 . . . . . 6
6147, 54, 60rlimi 13336 . . . . 5
6234adantr 465 . . . . . 6
63 rexanre 13179 . . . . . 6
6462, 63syl 16 . . . . 5
6558, 61, 64mpbir2and 922 . . . 4
6665ex 434 . . 3
6766necon1bd 2675 . 2
6843, 67mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231  2`c2 10610   cabs 13067   crli 13308 This theorem is referenced by:  rlimdm  13374  rlimdmafv  32262 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-rlim 13312
 Copyright terms: Public domain W3C validator