MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngnegl Unicode version

Theorem rngnegl 16512
Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (rngonegmn1l 28426 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngnegl.b
rngnegl.t
rngnegl.u
rngnegl.n
rngnegl.r
rngnegl.x
Assertion
Ref Expression
rngnegl

Proof of Theorem rngnegl
StepHypRef Expression
1 rngnegl.r . . . . 5
2 rngnegl.b . . . . . . 7
3 rngnegl.u . . . . . . 7
42, 3rngidcl 16493 . . . . . 6
51, 4syl 16 . . . . 5
6 rnggrp 16478 . . . . . . 7
71, 6syl 16 . . . . . 6
8 rngnegl.n . . . . . . 7
92, 8grpinvcl 15520 . . . . . 6
107, 5, 9syl2anc 646 . . . . 5
11 rngnegl.x . . . . 5
12 eqid 2422 . . . . . 6
13 rngnegl.t . . . . . 6
142, 12, 13rngdir 16492 . . . . 5
151, 5, 10, 11, 14syl13anc 1205 . . . 4
16 eqid 2422 . . . . . . . 8
172, 12, 16, 8grprinv 15522 . . . . . . 7
187, 5, 17syl2anc 646 . . . . . 6
1918oveq1d 6076 . . . . 5
202, 13, 16rnglz 16509 . . . . . 6
211, 11, 20syl2anc 646 . . . . 5
2219, 21eqtrd 2454 . . . 4
232, 13, 3rnglidm 16496 . . . . . 6
241, 11, 23syl2anc 646 . . . . 5
2524oveq1d 6076 . . . 4
2615, 22, 253eqtr3rd 2463 . . 3
272, 13rngcl 16486 . . . . 5
281, 10, 11, 27syl3anc 1203 . . . 4
292, 12, 16, 8grpinvid1 15523 . . . 4
307, 11, 28, 29syl3anc 1203 . . 3
3126, 30mpbird 226 . 2
3231eqcomd 2427 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  =wceq 1687  e.wcel 1749  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cbs 14114   cplusg 14178   cmulr 14179   c0g 14318   cgrp 15350   cminusg 15351   crg 16469   cur 16471
This theorem is referenced by:  rngmneg1  16514  dvdsrneg  16569  abvneg  16732  lmodvsneg  16801  lmodsubvs  16813  lmodsubdi  16814  lmodsubdir  16815  lmodvsinv  16926  mplind  17386  mdetralt  18116  m2detleiblem7  18135  lflsub  32149  baerlem3lem1  34789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-plusg 14191  df-0g 14320  df-mnd 15355  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-mgp 16458  df-rng 16472  df-ur 16474
  Copyright terms: Public domain W3C validator