Theorem rntpos 6987

Description: The range of when is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rntpos

Proof of Theorem rntpos

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3112	. . . . 5
2	1	elrn 5248	. . . 4
3		vex 3112	. . . . . . . . 9
4	3, 1	breldm 5212	. . . . . . . 8
5		dmtpos 6986	. . . . . . . . 9
6	5	eleq2d 2527	. . . . . . . 8
7	4, 6	syl5ib 219	. . . . . . 7
8		relcnv 5379	. . . . . . . 8
9		elrel 5110	. . . . . . . 8
10	8, 9	mpan 670	. . . . . . 7
11	7, 10	syl6 33	. . . . . 6
12		breq1 4455	. . . . . . . . 9
13		brtpos 6983	. . . . . . . . . 10
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
15	12, 14	syl6bb 261	. . . . . . . 8
16		opex 4716	. . . . . . . . 9
17	16, 1	brelrn 5238	. . . . . . . 8
18	15, 17	syl6bi 228	. . . . . . 7
19	18	exlimivv 1723	. . . . . 6
20	11, 19	syli 37	. . . . 5
21	20	exlimdv 1724	. . . 4
22	2, 21	syl5bi 217	. . 3
23	1	elrn 5248	. . . 4
24	3, 1	breldm 5212	. . . . . . 7
25		elrel 5110	. . . . . . . 8
26	25	ex 434	. . . . . . 7
27	24, 26	syl5 32	. . . . . 6
28		breq1 4455	. . . . . . . . 9
29	28, 14	syl6bbr 263	. . . . . . . 8
30		opex 4716	. . . . . . . . 9
31	30, 1	brelrn 5238	. . . . . . . 8
32	29, 31	syl6bi 228	. . . . . . 7
33	32	exlimivv 1723	. . . . . 6
34	27, 33	syli 37	. . . . 5
35	34	exlimdv 1724	. . . 4
36	23, 35	syl5bi 217	. . 3
37	22, 36	impbid 191	. 2
38	37	eqrdv 2454	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109  <.cop 4035   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  Relwrel 5009  tposctpos 6973

This theorem is referenced by:  tposfo2  6997  oppchofcl  15529  oyoncl  15539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-tpos 6974