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Theorem rpexp 14261
Description: If two numbers and are relatively prime, then they are still relatively prime if raised to a power. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexp

Proof of Theorem rpexp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0exp 12201 . . . . . 6
21oveq1d 6311 . . . . 5
32eqeq1d 2459 . . . 4
4 oveq1 6303 . . . . . . 7
5 oveq12 6305 . . . . . . 7
64, 5sylan 471 . . . . . 6
76eqeq1d 2459 . . . . 5
8 oveq12 6305 . . . . . 6
98eqeq1d 2459 . . . . 5
107, 9bibi12d 321 . . . 4
113, 10syl5ibrcom 222 . . 3
12113ad2ant3 1019 . 2
13 exprmfct 14251 . . . . . . 7
14 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1615nnnn0d 10877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17 zexpcl 12181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1814, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 gcddvds 14153 . . . . . . . . . . . . . . 15
2319, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
2423simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13
25 prmz 14221 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2814zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29 expeq0 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3028, 15, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3130anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3227, 31mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33 gcdn0cl 14152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3418, 20, 32, 33syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
37 dvdstr 14018 . . . . . . . . . . . . . 14
3826, 36, 19, 37syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
3924, 38mpan2d 674 . . . . . . . . . . . 12
40 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
41 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . 13
4215adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
43 prmdvdsexp 14255 . . . . . . . . . . . . 13
4440, 41, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
4539, 44sylibd 214 . . . . . . . . . . 11
4623simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
47 dvdstr 14018 . . . . . . . . . . . . 13
4826, 36, 21, 47syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
4946, 48mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11
5045, 49jcad 533 . . . . . . . . . 10
51 dvdsgcd 14181 . . . . . . . . . . 11
5226, 41, 21, 51syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
53 nprmdvds1 14252 . . . . . . . . . . . . 13
54 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . 14
5554notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13
5653, 55syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12
5756necon2ad 2670 . . . . . . . . . . 11
5857adantl 466 . . . . . . . . . 10
5950, 52, 583syld 55 . . . . . . . . 9
6059rexlimdva 2949 . . . . . . . 8
61 gcdn0cl 14152 . . . . . . . . . 10
62613adantl3 1154 . . . . . . . . 9
63 eluz2b3 11184 . . . . . . . . . 10
6463baib 903 . . . . . . . . 9
6562, 64syl 16 . . . . . . . 8
6660, 65sylibrd 234 . . . . . . 7
6713, 66syl5 32 . . . . . 6
68 exprmfct 14251 . . . . . . 7
69 gcddvds 14153 . . . . . . . . . . . . . . 15
7041, 21, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
7170simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13
72 iddvdsexp 14007 . . . . . . . . . . . . . 14
7341, 42, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
7462nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
76 dvdstr 14018 . . . . . . . . . . . . . 14
7775, 41, 19, 76syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
7871, 73, 77mp2and 679 . . . . . . . . . . . 12
79 dvdstr 14018 . . . . . . . . . . . . 13
8026, 75, 19, 79syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
8178, 80mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11
8270simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
83 dvdstr 14018 . . . . . . . . . . . . 13
8426, 75, 21, 83syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
8582, 84mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11
8681, 85jcad 533 . . . . . . . . . 10
87 dvdsgcd 14181 . . . . . . . . . . 11
8826, 19, 21, 87syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
89 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . 14
9089notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13
9153, 90syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12
9291necon2ad 2670 . . . . . . . . . . 11
9392adantl 466 . . . . . . . . . 10
9486, 88, 933syld 55 . . . . . . . . 9
9594rexlimdva 2949 . . . . . . . 8
96 eluz2b3 11184 . . . . . . . . . 10
9796baib 903 . . . . . . . . 9
9834, 97syl 16 . . . . . . . 8
9995, 98sylibrd 234 . . . . . . 7
10068, 99syl5 32 . . . . . 6
10167, 100impbid 191 . . . . 5
102101, 98, 653bitr3d 283 . . . 4
103102necon4bid 2716 . . 3
104103ex 434 . 2
10512, 104pm2.61d 158 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cexp 12166   cdvds 13986   cgcd 14144   cprime 14217
This theorem is referenced by:  rpexp1i  14262  phiprmpw  14306  pockthlem  14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218
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