Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpexpcl Unicode version

Theorem rpexpcl 12185
 Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexpcl

Proof of Theorem rpexpcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2
2 rpne0 11264 . . 3
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cdiv 10231   cz 10889   crp 11249   cexp 12166 This theorem is referenced by:  expgt0  12199  ltexp2a  12217  expcan  12218  ltexp2  12219  leexp2a  12221  ltexp2r  12222  expnlbnd2  12297  rpexpcld  12333  expcnv  13675  effsumlt  13846  ef01bndlem  13919  rpnnen2lem11  13958  iscmet3lem3  21729  iscmet3lem1  21730  iscmet3lem2  21731  iscmet3  21732  minveclem3  21844  pjthlem1  21852  aaliou3lem1  22738  aaliou3lem2  22739  aaliou3lem3  22740  aaliou3lem8  22741  aaliou3lem5  22743  aaliou3lem6  22744  aaliou3lem7  22745  aaliou3lem9  22746  tanregt0  22926  asinlem3  23202  cxp2limlem  23305  ftalem5  23350  basellem3  23356  basellem4  23357  basellem8  23361  chebbnd1lem3  23656  dchrisum0lem1a  23671  dchrisum0lem1b  23700  dchrisum0lem1  23701  dchrisum0lem2a  23702  dchrisum0lem2  23703  dchrisum0lem3  23704  pntlemd  23779  pntlema  23781  pntlemb  23782  pntlemh  23784  pntlemr  23787  pntlemi  23789  pntlemf  23790  pntlemo  23792  pntlem3  23794  pntleml  23796  ostth2lem1  23803  ostth3  23823  minvecolem3  25792  pjhthlem1  26309  dya2icoseg  28248  faclimlem3  29170  geomcau  30252 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167