MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rplogsumlem1 Unicode version

Theorem rplogsumlem1 22474
Description: Lemma for rplogsum 22517. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rplogsumlem1
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem rplogsumlem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11736 . . 3
2 elfzuz 11393 . . . . . . . 8
3 eluz2b2 10872 . . . . . . . . 9
43simplbi 450 . . . . . . . 8
52, 4syl 16 . . . . . . 7
65adantl 456 . . . . . 6
76nnrpd 10971 . . . . 5
87relogcld 21813 . . . 4
92adantl 456 . . . . . 6
10 uz2m1nn 10874 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
126, 11nnmulcld 10315 . . . 4
138, 12nndivred 10316 . . 3
141, 13fsumrecl 13152 . 2
15 2re 10337 . . . . 5
1611nnrpd 10971 . . . . . 6
1716rpsqrcld 12839 . . . . 5
18 rerpdivcl 10963 . . . . 5
1915, 17, 18sylancr 648 . . . 4
207rpsqrcld 12839 . . . . 5
21 rerpdivcl 10963 . . . . 5
2215, 20, 21sylancr 648 . . . 4
2319, 22resubcld 9722 . . 3
241, 23fsumrecl 13152 . 2
2515a1i 11 . 2
2617rpred 10972 . . . . 5
276nnred 10283 . . . . . . 7
28 peano2rem 9621 . . . . . . . 8
2927, 28syl 16 . . . . . . 7
3027, 29remulcld 9360 . . . . . 6
3130, 23remulcld 9360 . . . . 5
326nncnd 10284 . . . . . . . 8
33 ax-1cn 9286 . . . . . . . 8
34 npcan 9565 . . . . . . . 8
3532, 33, 34sylancl 647 . . . . . . 7
3635fveq2d 5665 . . . . . 6
3716rpge0d 10976 . . . . . . 7
38 loglesqr 21937 . . . . . . 7
3929, 37, 38syl2anc 646 . . . . . 6
4036, 39eqbrtrrd 4289 . . . . 5
4120rpred 10972 . . . . . . . . . . 11
4241, 26readdcld 9359 . . . . . . . . . 10
43 remulcl 9313 . . . . . . . . . . 11
4441, 15, 43sylancl 647 . . . . . . . . . 10
4541, 26resubcld 9722 . . . . . . . . . 10
4627lem1d 10212 . . . . . . . . . . . 12
477rpge0d 10976 . . . . . . . . . . . . 13
4829, 37, 27, 47sqrled 12854 . . . . . . . . . . . 12
4946, 48mpbid 204 . . . . . . . . . . 11
5041, 26subge0d 9875 . . . . . . . . . . 11
5149, 50mpbird 226 . . . . . . . . . 10
5226, 41, 41, 49leadd2dd 9900 . . . . . . . . . . 11
5320rpcnd 10974 . . . . . . . . . . . 12
5453times2d 10514 . . . . . . . . . . 11
5552, 54breqtrrd 4293 . . . . . . . . . 10
5642, 44, 45, 51, 55lemul1ad 10218 . . . . . . . . 9
5732sqsqrd 12866 . . . . . . . . . . 11
58 subcl 9555 . . . . . . . . . . . . 13
5932, 33, 58sylancl 647 . . . . . . . . . . . 12
6059sqsqrd 12866 . . . . . . . . . . 11
6157, 60oveq12d 6079 . . . . . . . . . 10
6217rpcnd 10974 . . . . . . . . . . 11
63 subsq 11914 . . . . . . . . . . 11
6453, 62, 63syl2anc 646 . . . . . . . . . 10
65 nncan 9584 . . . . . . . . . . 11
6632, 33, 65sylancl 647 . . . . . . . . . 10
6761, 64, 663eqtr3d 2462 . . . . . . . . 9
68 2cn 10338 . . . . . . . . . . 11
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10
7045recnd 9358 . . . . . . . . . 10
7153, 69, 70mulassd 9355 . . . . . . . . 9
7256, 67, 713brtr3d 4296 . . . . . . . 8
73 1red 9347 . . . . . . . . 9
74 remulcl 9313 . . . . . . . . . . 11
7515, 45, 74sylancr 648 . . . . . . . . . 10
7641, 75remulcld 9360 . . . . . . . . 9
7773, 76, 17lemul1d 11011 . . . . . . . 8
7872, 77mpbid 204 . . . . . . 7
7962mulid2d 9350 . . . . . . 7
8075recnd 9358 . . . . . . . 8
8153, 80, 62mul32d 9525 . . . . . . 7
8278, 79, 813brtr3d 4296 . . . . . 6
83 remsqsqr 12687 . . . . . . . . . . 11
8427, 47, 83syl2anc 646 . . . . . . . . . 10
85 remsqsqr 12687 . . . . . . . . . . 11
8629, 37, 85syl2anc 646 . . . . . . . . . 10
8784, 86oveq12d 6079 . . . . . . . . 9
8853, 53, 62, 62mul4d 9527 . . . . . . . . 9
8987, 88eqtr3d 2456 . . . . . . . 8
9017rpcnne0d 10981 . . . . . . . . . 10
9120rpcnne0d 10981 . . . . . . . . . 10
92 divsubdiv 9993 . . . . . . . . . 10
9369, 69, 90, 91, 92syl22anc 1204 . . . . . . . . 9
9469, 53, 62subdid 9746 . . . . . . . . . 10
9553, 62mulcomd 9353 . . . . . . . . . 10
9694, 95oveq12d 6079 . . . . . . . . 9
9793, 96eqtr4d 2457 . . . . . . . 8
9889, 97oveq12d 6079 . . . . . . 7
9953, 62mulcld 9352 . . . . . . . 8
10020, 17rpmulcld 10988 . . . . . . . . . 10
10175, 100rerpdivcld 10999 . . . . . . . . 9
102101recnd 9358 . . . . . . . 8
10399, 99, 102mulassd 9355 . . . . . . 7
104100rpne0d 10977 . . . . . . . . 9
10580, 99, 104divcan2d 10055 . . . . . . . 8
106105oveq2d 6077 . . . . . . 7
10798, 103, 1063eqtrd 2458 . . . . . 6
10882, 107breqtrrd 4293 . . . . 5
1098, 26, 31, 40, 108letrd 9474 . . . 4
11012nngt0d 10311 . . . . 5
111 ledivmul 10151 . . . . 5
1128, 23, 30, 110, 111syl112anc 1207 . . . 4
113109, 112mpbird 226 . . 3
1141, 13, 23, 113fsumle 13202 . 2
115 oveq1 6068 . . . . . . 7
116115fveq2d 5665 . . . . . 6
117116oveq2d 6077 . . . . 5
118 oveq1 6068 . . . . . . 7
119118fveq2d 5665 . . . . . 6
120119oveq2d 6077 . . . . 5
121 oveq1 6068 . . . . . . . . . 10
122 2m1e1 10382 . . . . . . . . . 10
123121, 122syl6eq 2470 . . . . . . . . 9
124123fveq2d 5665 . . . . . . . 8
125 sqr1 12702 . . . . . . . 8
126124, 125syl6eq 2470 . . . . . . 7
127126oveq2d 6077 . . . . . 6
12868div1i 10005 . . . . . 6
129127, 128syl6eq 2470 . . . . 5
130 oveq1 6068 . . . . . . 7
131130fveq2d 5665 . . . . . 6
132131oveq2d 6077 . . . . 5
133 nnz 10613 . . . . 5
134 eluzp1p1 10831 . . . . . . 7
135 nnuz 10841 . . . . . . 7
136134, 135eleq2s 2514 . . . . . 6
137 df-2 10326 . . . . . . 7
138137fveq2i 5664 . . . . . 6
139136, 138syl6eleqr 2513 . . . . 5
140 elfzuz 11393 . . . . . . . . . . 11
141 uz2m1nn 10874 . . . . . . . . . . 11
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . 10
143142adantl 456 . . . . . . . . 9
144143nnrpd 10971 . . . . . . . 8
145144rpsqrcld 12839 . . . . . . 7
146 rerpdivcl 10963 . . . . . . 7
14715, 145, 146sylancr 648 . . . . . 6
148147recnd 9358 . . . . 5
149117, 120, 129, 132, 133, 139, 148fsumtscop 13207 . . . 4
150 pncan 9562 . . . . . . . . 9
15132, 33, 150sylancl 647 . . . . . . . 8
152151fveq2d 5665 . . . . . . 7
153152oveq2d 6077 . . . . . 6
154153oveq2d 6077 . . . . 5
155154sumeq2dv 13121 . . . 4
156 nncn 10276 . . . . . . . 8
157 pncan 9562 . . . . . . . 8
158156, 33, 157sylancl 647 . . . . . . 7
159158fveq2d 5665 . . . . . 6
160159oveq2d 6077 . . . . 5
161160oveq2d 6077 . . . 4
162149, 155, 1613eqtr3d 2462 . . 3
163 2rp 10941 . . . . . 6
164 nnrp 10945 . . . . . . 7
165164rpsqrcld 12839 . . . . . 6
166 rpdivcl 10958 . . . . . 6
167163, 165, 166sylancr 648 . . . . 5
168167rpge0d 10976 . . . 4
169167rpred 10972 . . . . 5
170 subge02 9801 . . . . 5
17115, 169, 170sylancr 648 . . . 4
172168, 171mpbid 204 . . 3
173162, 172eqbrtrd 4287 . 2
17414, 24, 25, 114, 173letrd 9474 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585   class class class wbr 4267  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   clt 9364   cle 9365   cmin 9541   cdiv 9939   cn 10268  2c2 10317   cuz 10806   crp 10936   cfz 11381   cexp 11806   csqr 12663  sum_csu 13104   clog 21747
This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  22475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-ioo 11249  df-ioc 11250  df-ico 11251  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-mod 11650  df-seq 11748  df-exp 11807  df-fac 11993  df-bc 12020  df-hash 12045  df-shft 12497  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-limsup 12890  df-clim 12907  df-rlim 12908  df-sum 13105  df-ef 13293  df-sin 13295  df-cos 13296  df-tan 13297  df-pi 13298  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-topgen 14322  df-pt 14323  df-prds 14326  df-xrs 14380  df-qtop 14385  df-imas 14386  df-xps 14388  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-submnd 15405  df-mulg 15485  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-fbas 17524  df-fg 17525  df-cnfld 17529  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-cld 18327  df-ntr 18328  df-cls 18329  df-nei 18406  df-lp 18444  df-perf 18445  df-cn 18535  df-cnp 18536  df-haus 18623  df-cmp 18694  df-tx 18839  df-hmeo 19032  df-fil 19123  df-fm 19215  df-flim 19216  df-flf 19217  df-xms 19595  df-ms 19596  df-tms 19597  df-cncf 20154  df-limc 21041  df-dv 21042  df-log 21749  df-cxp 21750
  Copyright terms: Public domain W3C validator