MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rplpwr Unicode version

Theorem rplpwr 14194
Description: If and are relatively prime, then so are and . (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
rplpwr

Proof of Theorem rplpwr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . . 8
21oveq1d 6311 . . . . . . 7
32eqeq1d 2459 . . . . . 6
43imbi2d 316 . . . . 5
5 oveq2 6304 . . . . . . . 8
65oveq1d 6311 . . . . . . 7
76eqeq1d 2459 . . . . . 6
87imbi2d 316 . . . . 5
9 oveq2 6304 . . . . . . . 8
109oveq1d 6311 . . . . . . 7
1110eqeq1d 2459 . . . . . 6
1211imbi2d 316 . . . . 5
13 oveq2 6304 . . . . . . . 8
1413oveq1d 6311 . . . . . . 7
1514eqeq1d 2459 . . . . . 6
1615imbi2d 316 . . . . 5
17 nncn 10569 . . . . . . . . . 10
1817exp1d 12305 . . . . . . . . 9
1918oveq1d 6311 . . . . . . . 8
2019adantr 465 . . . . . . 7
2120eqeq1d 2459 . . . . . 6
2221biimpar 485 . . . . 5
23 df-3an 975 . . . . . . . . 9
24 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2524nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726nnnn0d 10877 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2825, 27expp1d 12311 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
30 nnnn0 10827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31303ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3229, 31nnexpcld 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3332nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3534zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635, 25mulcomd 9638 . . . . . . . . . . . . . . 15
3728, 36eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
3837oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
39 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . 14
4032adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
41 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42413ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
43 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44433ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
45 gcdcom 14158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4642, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14
49 rpmulgcd 14193 . . . . . . . . . . . . . 14
5039, 24, 40, 48, 49syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13
5138, 50eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
52 peano2nn 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53523ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554nnnn0d 10877 . . . . . . . . . . . . . . 15
5624, 55nnexpcld 12331 . . . . . . . . . . . . . 14
5756nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . 13
5844adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
59 gcdcom 14158 . . . . . . . . . . . . 13
6057, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
61 gcdcom 14158 . . . . . . . . . . . . 13
6234, 58, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
6351, 60, 623eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11
6463eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
6564biimprd 223 . . . . . . . . 9
6623, 65sylanbr 473 . . . . . . . 8
6766an32s 804 . . . . . . 7
6867expcom 435 . . . . . 6
6968a2d 26 . . . . 5
704, 8, 12, 16, 22, 69nnind 10579 . . . 4
7170expd 436 . . 3
7271com12 31 . 2
73723impia 1193 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cexp 12166   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  rppwr  14195  lgsne0  23608  2sqlem8  23647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
  Copyright terms: Public domain W3C validator