Theorem rpmulgcd 14193

Description: If and are relatively prime, then the GCD of and is the GCD of and . (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulgcd

Proof of Theorem rpmulgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmultiple 14188	. . . . . 6
2	1	3adant2 1015	. . . . 5
3	2	oveq1d 6311	. . . 4
4		nnz 10911	. . . . . 6
5	4	3ad2ant1 1017	. . . . 5
6		nnz 10911	. . . . . . 7
7		zmulcl 10937	. . . . . . 7
8	4, 6, 7	syl2an 477	. . . . . 6
9	8	3adant2 1015	. . . . 5
10		nnz 10911	. . . . . . 7
11		zmulcl 10937	. . . . . . 7
12	10, 6, 11	syl2an 477	. . . . . 6
13	12	3adant1 1014	. . . . 5
14		gcdass 14183	. . . . 5
15	5, 9, 13, 14	syl3anc 1228	. . . 4
16	3, 15	eqtr3d 2500	. . 3
17	16	adantr 465	. 2
18		nnnn0 10827	. . . . . 6
19		mulgcdr 14186	. . . . . 6
20	4, 10, 18, 19	syl3an 1270	. . . . 5
21		oveq1 6303	. . . . 5
22	20, 21	sylan9eq 2518	. . . 4
23		nncn 10569	. . . . . . 7
24	23	3ad2ant3 1019	. . . . . 6
25	24	adantr 465	. . . . 5
26	25	mulid2d 9635	. . . 4
27	22, 26	eqtrd 2498	. . 3
28	27	oveq2d 6312	. 2
29	17, 28	eqtrd 2498	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  1c1 9514  cmul 9518  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cgcd 14144

This theorem is referenced by:  rplpwr  14194  lgsquad2lem2  23634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145