Theorem rpmulgcd2 14246

Description: If is relatively prime to , then the GCD of with is the product of the GCDs with and respectively. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulgcd2

Proof of Theorem rpmulgcd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 999	. . 3
2		simpl2 1000	. . . 4
3		simpl3 1001	. . . 4
4	2, 3	zmulcld 11000	. . 3
5	1, 4	gcdcld 14156	. 2
6	1, 2	gcdcld 14156	. . 3
7	1, 3	gcdcld 14156	. . 3
8	6, 7	nn0mulcld 10882	. 2
9		mulgcddvds 14245	. . 3
10	9	adantr 465	. 2
11		gcddvds 14153	. . . . . 6
12	1, 2, 11	syl2anc 661	. . . . 5
13	12	simpld 459	. . . 4
14		gcddvds 14153	. . . . . 6
15	1, 3, 14	syl2anc 661	. . . . 5
16	15	simpld 459	. . . 4
17	6	nn0zd 10992	. . . . 5
18	7	nn0zd 10992	. . . . 5
19		gcddvds 14153	. . . . . . . . . . 11
20	17, 18, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
21	20	simpld 459	. . . . . . . . 9
22	12	simprd 463	. . . . . . . . 9
23	17, 18	gcdcld 14156	. . . . . . . . . . 11
24	23	nn0zd 10992	. . . . . . . . . 10
25		dvdstr 14018	. . . . . . . . . 10
26	24, 17, 2, 25	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
27	21, 22, 26	mp2and 679	. . . . . . . 8
28	20	simprd 463	. . . . . . . . 9
29	15	simprd 463	. . . . . . . . 9
30		dvdstr 14018	. . . . . . . . . 10
31	24, 18, 3, 30	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
32	28, 29, 31	mp2and 679	. . . . . . . 8
33		dvdsgcd 14181	. . . . . . . . 9
34	24, 2, 3, 33	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
35	27, 32, 34	mp2and 679	. . . . . . 7
36		simpr 461	. . . . . . 7
37	35, 36	breqtrd 4476	. . . . . 6
38		dvds1 14034	. . . . . . 7
39	23, 38	syl 16	. . . . . 6
40	37, 39	mpbid 210	. . . . 5
41		coprmdvds2 14244	. . . . 5
42	17, 18, 1, 40, 41	syl31anc 1231	. . . 4
43	13, 16, 42	mp2and 679	. . 3
44		dvdscmul 14010	. . . . . 6
45	18, 3, 17, 44	syl3anc 1228	. . . . 5
46		dvdsmulc 14011	. . . . . 6
47	17, 2, 3, 46	syl3anc 1228	. . . . 5
48	17, 18	zmulcld 11000	. . . . . 6
49	17, 3	zmulcld 11000	. . . . . 6
50		dvdstr 14018	. . . . . 6
51	48, 49, 4, 50	syl3anc 1228	. . . . 5
52	45, 47, 51	syl2and 483	. . . 4
53	29, 22, 52	mp2and 679	. . 3
54		dvdsgcd 14181	. . . 4
55	48, 1, 4, 54	syl3anc 1228	. . 3
56	43, 53, 55	mp2and 679	. 2
57		dvdseq 14033	. 2
58	5, 8, 10, 56, 57	syl22anc 1229	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  1c1 9514  cmul 9518  cn0 10820  cz 10889  cdvds 13986  cgcd 14144

This theorem is referenced by:  dvdsmulf1o  23470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145