Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulgcd2 Unicode version

Theorem rpmulgcd2 14246
 Description: If is relatively prime to , then the GCD of with is the product of the GCDs with and respectively. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
rpmulgcd2

Proof of Theorem rpmulgcd2
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . 3
2 simpl2 1000 . . . 4
3 simpl3 1001 . . . 4
42, 3zmulcld 11000 . . 3
51, 4gcdcld 14156 . 2
61, 2gcdcld 14156 . . 3
71, 3gcdcld 14156 . . 3
86, 7nn0mulcld 10882 . 2
9 mulgcddvds 14245 . . 3
11 gcddvds 14153 . . . . . 6
121, 2, 11syl2anc 661 . . . . 5
1312simpld 459 . . . 4
14 gcddvds 14153 . . . . . 6
151, 3, 14syl2anc 661 . . . . 5
1615simpld 459 . . . 4
176nn0zd 10992 . . . . 5
187nn0zd 10992 . . . . 5
19 gcddvds 14153 . . . . . . . . . . 11
2017, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
2120simpld 459 . . . . . . . . 9
2212simprd 463 . . . . . . . . 9
2317, 18gcdcld 14156 . . . . . . . . . . 11
2423nn0zd 10992 . . . . . . . . . 10
25 dvdstr 14018 . . . . . . . . . 10
2624, 17, 2, 25syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
2721, 22, 26mp2and 679 . . . . . . . 8
2820simprd 463 . . . . . . . . 9
2915simprd 463 . . . . . . . . 9
30 dvdstr 14018 . . . . . . . . . 10
3124, 18, 3, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
3228, 29, 31mp2and 679 . . . . . . . 8
33 dvdsgcd 14181 . . . . . . . . 9
3424, 2, 3, 33syl3anc 1228 . . . . . . . 8
3527, 32, 34mp2and 679 . . . . . . 7
36 simpr 461 . . . . . . 7
3735, 36breqtrd 4476 . . . . . 6
38 dvds1 14034 . . . . . . 7
3923, 38syl 16 . . . . . 6
4037, 39mpbid 210 . . . . 5
41 coprmdvds2 14244 . . . . 5
4217, 18, 1, 40, 41syl31anc 1231 . . . 4
4313, 16, 42mp2and 679 . . 3
44 dvdscmul 14010 . . . . . 6
4518, 3, 17, 44syl3anc 1228 . . . . 5
46 dvdsmulc 14011 . . . . . 6
4717, 2, 3, 46syl3anc 1228 . . . . 5
4817, 18zmulcld 11000 . . . . . 6
4917, 3zmulcld 11000 . . . . . 6
50 dvdstr 14018 . . . . . 6
5148, 49, 4, 50syl3anc 1228 . . . . 5
5245, 47, 51syl2and 483 . . . 4
5329, 22, 52mp2and 679 . . 3
54 dvdsgcd 14181 . . . 4
5548, 1, 4, 54syl3anc 1228 . . 3
5643, 53, 55mp2and 679 . 2
57 dvdseq 14033 . 2
585, 8, 10, 56, 57syl22anc 1229 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  1c1 9514   cmul 9518   cn0 10820   cz 10889   cdvds 13986   cgcd 14144 This theorem is referenced by:  dvdsmulf1o  23470 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
 Copyright terms: Public domain W3C validator