MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpneg Unicode version

Theorem rpneg 11278
Description: Either a nonzero real or its negation is a positive real, but not both. Axiom 8 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpneg

Proof of Theorem rpneg
StepHypRef Expression
1 0re 9617 . . . . . . . 8
2 ltle 9694 . . . . . . . 8
31, 2mpan 670 . . . . . . 7
43imp 429 . . . . . 6
54olcd 393 . . . . 5
6 renegcl 9905 . . . . . . . . 9
76pm2.24d 143 . . . . . . . 8
87adantr 465 . . . . . . 7
9 ltlen 9707 . . . . . . . . . . 11
101, 9mpan 670 . . . . . . . . . 10
1110biimprd 223 . . . . . . . . 9
1211expcomd 438 . . . . . . . 8
1312imp 429 . . . . . . 7
148, 13jaod 380 . . . . . 6
15 simpl 457 . . . . . 6
1614, 15jctild 543 . . . . 5
175, 16impbid2 204 . . . 4
18 lenlt 9684 . . . . . . . 8
191, 18mpan 670 . . . . . . 7
20 lt0neg1 10083 . . . . . . . 8
2120notbid 294 . . . . . . 7
2219, 21bitrd 253 . . . . . 6
2322adantr 465 . . . . 5
2423orbi2d 701 . . . 4
2517, 24bitrd 253 . . 3
26 ianor 488 . . 3
2725, 26syl6bbr 263 . 2
28 elrp 11251 . 2
29 elrp 11251 . . 3
3029notbii 296 . 2
3127, 28, 303bitr4g 288 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452   cr 9512  0cc0 9513   clt 9649   cle 9650  -ucneg 9829   crp 11249
This theorem is referenced by:  cnpart  13073  angpined  23161  signsply0  28508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-rp 11250
  Copyright terms: Public domain W3C validator