Theorem rpnnen 13960

Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of . This is a stronger statement than ruc 13976, which only asserts that is uncountable, i.e. has a cardinality larger than . The main proof is in two parts, rpnnen1 11242 and rpnnen2 13959, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 7657 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen

Proof of Theorem rpnnen

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6303	. . . . . 6
2	1	breq1d 4462	. . . . 5
3	2	cbvrabv 3108	. . . 4
4		oveq2 6304	. . . . . . . . . . 11
5	4	breq1d 4462	. . . . . . . . . 10
6	5	rabbidv 3101	. . . . . . . . 9
7	6	supeq1d 7926	. . . . . . . 8
8		id 22	. . . . . . . 8
9	7, 8	oveq12d 6314	. . . . . . 7
10	9	cbvmptv 4543	. . . . . 6
11		breq2 4456	. . . . . . . . . 10
12	11	rabbidv 3101	. . . . . . . . 9
13	12	supeq1d 7926	. . . . . . . 8
14	13	oveq1d 6311	. . . . . . 7
15	14	mpteq2dv 4539	. . . . . 6
16	10, 15	syl5eq 2510	. . . . 5
17	16	cbvmptv 4543	. . . 4
18	3, 17	rpnnen1 11242	. . 3
19		qnnen 13947	. . . . . . 7
20		nnex 10567	. . . . . . . 8
21	20	canth2 7690	. . . . . . 7
22		ensdomtr 7673	. . . . . . 7
23	19, 21, 22	mp2an 672	. . . . . 6
24		sdomdom 7563	. . . . . 6
25		mapdom1 7702	. . . . . 6
26	23, 24, 25	mp2b 10	. . . . 5
27	20	pw2en 7644	. . . . . 6
28	20	enref 7568	. . . . . 6
29		mapen 7701	. . . . . 6
30	27, 28, 29	mp2an 672	. . . . 5
31		domentr 7594	. . . . 5
32	26, 30, 31	mp2an 672	. . . 4
33		2onn 7308	. . . . . . 7
34		mapxpen 7703	. . . . . . 7
35	33, 20, 20, 34	mp3an 1324	. . . . . 6
36	33	elexi 3119	. . . . . . . 8
37	36	enref 7568	. . . . . . 7
38		xpnnen 13942	. . . . . . 7
39		mapen 7701	. . . . . . 7
40	37, 38, 39	mp2an 672	. . . . . 6
41	35, 40	entri 7589	. . . . 5
42	41, 27	entr4i 7592	. . . 4
43		domentr 7594	. . . 4
44	32, 42, 43	mp2an 672	. . 3
45		domtr 7588	. . 3
46	18, 44, 45	mp2an 672	. 2
47		elequ2 1823	. . . . . . . 8
48	47	ifbid 3963	. . . . . . 7
49	48	mpteq2dv 4539	. . . . . 6
50		elequ1 1821	. . . . . . . 8
51		oveq2 6304	. . . . . . . 8
52	50, 51	ifbieq1d 3964	. . . . . . 7
53	52	cbvmptv 4543	. . . . . 6
54	49, 53	syl6eq 2514	. . . . 5
55	54	cbvmptv 4543	. . . 4
56	55	rpnnen2 13959	. . 3
57		reex 9604	. . . 4
58		unitssre 11696	. . . 4
59		ssdomg 7581	. . . 4
60	57, 58, 59	mp2 9	. . 3
61		domtr 7588	. . 3
62	56, 60, 61	mp2an 672	. 2
63		sbth 7657	. 2
64	46, 62, 63	mp2an 672	1

Syntax hints:  e.wcel 1818  {crab 2811  cvv 3109  C_wss 3475  ifcif 3941  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  (class class class)co 6296  com 6700  c2o 7143  cmap 7439  cen 7533  cdom 7534  csdm 7535  supcsup 7920  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  clt 9649  cdiv 10231  cn 10561  3c3 10611  cz 10889  cq 11211  cicc 11561  cexp 12166

This theorem is referenced by:  rexpen  13961  cpnnen  13962  rucALT  13963  cnso  13980  2ndcredom  19951  opnreen  21336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-acn 8344  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-ico 11564  df-icc 11565  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509