Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1 Unicode version

Theorem rpnnen1 11242
 Description: One half of rpnnen 13960, where we show an injection from the real numbers to sequences of rational numbers. Specifically, we map a real number to the sequence such that is the largest rational number with denominator that is strictly less than . In this manner, we get a monotonically increasing sequence that converges to , and since each sequence converges to a unique real number, this mapping from reals to sequences of rational numbers is injective. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1.1
rpnnen1.2
Assertion
Ref Expression
rpnnen1
Distinct variable groups:   ,,,   ,

Proof of Theorem rpnnen1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6324 . 2
2 rpnnen1.1 . . . 4
3 rpnnen1.2 . . . 4
42, 3rpnnen1lem1 11237 . . 3
5 rneq 5233 . . . . . 6
65supeq1d 7926 . . . . 5
72, 3rpnnen1lem5 11241 . . . . . 6
8 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
98rneqd 5235 . . . . . . . . 9
109supeq1d 7926 . . . . . . . 8
11 id 22 . . . . . . . 8
1210, 11eqeq12d 2479 . . . . . . 7
1312, 7vtoclga 3173 . . . . . 6
147, 13eqeqan12d 2480 . . . . 5
156, 14syl5ib 219 . . . 4
1615, 8impbid1 203 . . 3
174, 16dom2 7578 . 2
181, 17ax-mp 5 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  rancrn 5005  cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439   cdom 7534  sup`csup 7920   cr 9512   clt 9649   cdiv 10231   cn 10561   cz 10889   cq 11211 This theorem is referenced by:  reexALT  11243  rpnnen  13960 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-q 11212
 Copyright terms: Public domain W3C validator