MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem3 Unicode version

Theorem rpnnen1lem3 11239
Description: Lemma for rpnnen1 11242. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1.1
rpnnen1.2
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem3
Distinct variable groups:   , , ,   ,

Proof of Theorem rpnnen1lem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnexALT 10563 . . . . . . . 8
21mptex 6143 . . . . . . 7
3 rpnnen1.2 . . . . . . . 8
43fvmpt2 5963 . . . . . . 7
52, 4mpan2 671 . . . . . 6
65fveq1d 5873 . . . . 5
7 ovex 6324 . . . . . 6
8 eqid 2457 . . . . . . 7
98fvmpt2 5963 . . . . . 6
107, 9mpan2 671 . . . . 5
116, 10sylan9eq 2518 . . . 4
12 rpnnen1.1 . . . . . . . . 9
1312rabeq2i 3106 . . . . . . . 8
14 zre 10893 . . . . . . . . . . . 12
1514adantl 466 . . . . . . . . . . 11
16 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
17 nnre 10568 . . . . . . . . . . . . 13
18 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . . 13
1917, 18jca 532 . . . . . . . . . . . 12
2019ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
21 ltdivmul 10442 . . . . . . . . . . 11
2215, 16, 20, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
2317ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12
24 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . 12
2523, 16, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
26 ltle 9694 . . . . . . . . . . 11
2715, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
2822, 27sylbid 215 . . . . . . . . 9
2928impr 619 . . . . . . . 8
3013, 29sylan2b 475 . . . . . . 7
3130ralrimiva 2871 . . . . . 6
32 ssrab2 3584 . . . . . . . . . 10
3312, 32eqsstri 3533 . . . . . . . . 9
34 zssre 10896 . . . . . . . . 9
3533, 34sstri 3512 . . . . . . . 8
3635a1i 11 . . . . . . 7
3724ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12
3817, 37sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
39 btwnz 10991 . . . . . . . . . . . 12
4039simpld 459 . . . . . . . . . . 11
4138, 40syl 16 . . . . . . . . . 10
4222rexbidva 2965 . . . . . . . . . 10
4341, 42mpbird 232 . . . . . . . . 9
44 rabn0 3805 . . . . . . . . 9
4543, 44sylibr 212 . . . . . . . 8
4612neeq1i 2742 . . . . . . . 8
4745, 46sylibr 212 . . . . . . 7
48 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
4948ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
5049rspcev 3210 . . . . . . . 8
5138, 31, 50syl2anc 661 . . . . . . 7
52 suprleub 10532 . . . . . . 7
5336, 47, 51, 38, 52syl31anc 1231 . . . . . 6
5431, 53mpbird 232 . . . . 5
5512, 3rpnnen1lem2 11238 . . . . . . 7
5655zred 10994 . . . . . 6
57 simpl 457 . . . . . 6
5819adantl 466 . . . . . 6
59 ledivmul 10443 . . . . . 6
6056, 57, 58, 59syl3anc 1228 . . . . 5
6154, 60mpbird 232 . . . 4
6211, 61eqbrtrd 4472 . . 3
6362ralrimiva 2871 . 2
6412, 3rpnnen1lem1 11237 . . . 4
65 qexALT 11226 . . . . 5
6665, 1elmap 7467 . . . 4
6764, 66sylib 196 . . 3
68 ffn 5736 . . 3
69 breq1 4455 . . . 4
7069ralrn 6034 . . 3
7167, 68, 703syl 20 . 2
7263, 71mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cdiv 10231   cn 10561   cz 10889   cq 11211
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem4  11240  rpnnen1lem5  11241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-q 11212
  Copyright terms: Public domain W3C validator