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Theorem rpnnen1lem5 11241
Description: Lemma for rpnnen1 11242. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1.1
rpnnen1.2
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem5
Distinct variable groups:   , , ,   ,

Proof of Theorem rpnnen1lem5
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1.1 . . . 4
2 rpnnen1.2 . . . 4
31, 2rpnnen1lem3 11239 . . 3
41, 2rpnnen1lem1 11237 . . . . . 6
5 qexALT 11226 . . . . . . 7
6 nnexALT 10563 . . . . . . 7
75, 6elmap 7467 . . . . . 6
84, 7sylib 196 . . . . 5
9 frn 5742 . . . . . 6
10 qssre 11221 . . . . . 6
119, 10syl6ss 3515 . . . . 5
128, 11syl 16 . . . 4
13 1nn 10572 . . . . . . . 8
1413ne0ii 3791 . . . . . . 7
15 fdm 5740 . . . . . . . 8
1615neeq1d 2734 . . . . . . 7
1714, 16mpbiri 233 . . . . . 6
18 dm0rn0 5224 . . . . . . 7
1918necon3bii 2725 . . . . . 6
2017, 19sylib 196 . . . . 5
218, 20syl 16 . . . 4
22 breq2 4456 . . . . . . 7
2322ralbidv 2896 . . . . . 6
2423rspcev 3210 . . . . 5
253, 24mpdan 668 . . . 4
26 id 22 . . . 4
27 suprleub 10532 . . . 4
2812, 21, 25, 26, 27syl31anc 1231 . . 3
293, 28mpbird 232 . 2
301, 2rpnnen1lem4 11240 . . . . . . . . 9
31 resubcl 9906 . . . . . . . . 9
3230, 31mpdan 668 . . . . . . . 8
3332adantr 465 . . . . . . 7
34 posdif 10070 . . . . . . . . . 10
3530, 34mpancom 669 . . . . . . . . 9
3635biimpa 484 . . . . . . . 8
3736gt0ne0d 10142 . . . . . . 7
3833, 37rereccld 10396 . . . . . 6
39 arch 10817 . . . . . 6
4038, 39syl 16 . . . . 5
4140ex 434 . . . 4
421, 2rpnnen1lem2 11238 . . . . . . . . 9
4342zred 10994 . . . . . . . 8
44433adant3 1016 . . . . . . 7
4544ltp1d 10501 . . . . . 6
4633, 36jca 532 . . . . . . . . . . . . 13
47 nnre 10568 . . . . . . . . . . . . . 14
48 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . . . 14
4947, 48jca 532 . . . . . . . . . . . . 13
50 ltrec1 10457 . . . . . . . . . . . . 13
5146, 49, 50syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
5230ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
53 nnrecre 10597 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
55 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14
5652, 54, 55ltaddsub2d 10178 . . . . . . . . . . . . 13
5712adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
598, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6159, 60sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6257, 61sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6330adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6453adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6512, 21, 253jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
67 suprub 10529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6866, 61, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6962, 63, 64, 68leadd1dd 10191 . . . . . . . . . . . . . . 15
7062, 64readdcld 9644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 readdcl 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7230, 53, 71syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
73 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 lelttr 9696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7670, 72, 73, 75syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
7769, 76mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
7877adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
7956, 78sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12
8051, 79sylbid 215 . . . . . . . . . . 11
8142peano2zd 10997 . . . . . . . . . . . . . . . 16
82 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8382breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8483, 1elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8584biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8681, 85sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
87 ssrab2 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
881, 87eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89 zssre 10896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9088, 89sstri 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
92 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9392ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9447, 93sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
95 btwnz 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9695simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9794, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
98 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9998adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
100 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10149ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102 ltdivmul 10442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10399, 100, 101, 102syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104103rexbidva 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10597, 104mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106 rabn0 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107105, 106sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1081neeq1i 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109107, 108sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1101rabeq2i 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11147ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
112111, 100, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
113 ltle 9694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11499, 112, 113syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
115103, 114sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
116115impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117110, 116sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118117ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120119ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121120rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12294, 118, 121syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12391, 109, 1223jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124 suprub 10529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125123, 124sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
12686, 125syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14
127126ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
12842zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129 1cnd 9633 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130 nncn 10569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131 nnne0 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132130, 131jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
133132adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
134 divdir 10255 . . . . . . . . . . . . . . . 16
135128, 129, 133, 134syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
1366mptex 6143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1372fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
138136, 137mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139138fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
142141fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
143140, 142mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144139, 143sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
145144oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
146135, 145eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14
147146breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . 13
14881zred 10994 . . . . . . . . . . . . . 14
149148, 43lenltd 9752 . . . . . . . . . . . . 13
150127, 147, 1493imtr3d 267 . . . . . . . . . . . 12
151150adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
15280, 151syld 44 . . . . . . . . . 10
153152exp31 604 . . . . . . . . 9
154153com4l 84 . . . . . . . 8
155154com14 88 . . . . . . 7
1561553imp 1190 . . . . . 6
15745, 156mt2d 117 . . . . 5
158157rexlimdv3a 2951 . . . 4
15941, 158syld 44 . . 3
160159pm2.01d 169 . 2
161 eqlelt 9693 . . 3
16230, 161mpancom 669 . 2
16329, 160, 162mpbir2and 922 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cz 10889   cq 11211
This theorem is referenced by:  rpnnen1  11242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-q 11212
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