MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem11 Unicode version

Theorem rpnnen2lem11 13958
Description: Lemma for rpnnen2 13959. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1
rpnnen2.2
rpnnen2.3
rpnnen2.4
rpnnen2.5
rpnnen2.6
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem11
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   , , ,   , ,   ,

Proof of Theorem rpnnen2lem11
StepHypRef Expression
1 rpnnen2.3 . . . 4
2 rpnnen2.2 . . . . 5
3 rpnnen2.4 . . . . 5
4 eldifi 3625 . . . . . 6
5 ssel2 3498 . . . . . 6
64, 5sylan2 474 . . . . 5
72, 3, 6syl2anc 661 . . . 4
8 rpnnen2.1 . . . . 5
98rpnnen2lem6 13953 . . . 4
101, 7, 9syl2anc 661 . . 3
11 3nn 10719 . . . . . 6
12 nnrecre 10597 . . . . . 6
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5
147nnnn0d 10877 . . . . 5
15 reexpcl 12183 . . . . 5
1613, 14, 15sylancr 663 . . . 4
178rpnnen2lem6 13953 . . . . 5
182, 7, 17syl2anc 661 . . . 4
19 nnrp 11258 . . . . . . . . 9
20 rpreccl 11272 . . . . . . . . 9
2111, 19, 20mp2b 10 . . . . . . . 8
227nnzd 10993 . . . . . . . 8
23 rpexpcl 12185 . . . . . . . 8
2421, 22, 23sylancr 663 . . . . . . 7
2524rpred 11285 . . . . . 6
2625rehalfcld 10810 . . . . 5
273snssd 4175 . . . . . . . . 9
282ssdifd 3639 . . . . . . . . 9
2927, 28sstrd 3513 . . . . . . . 8
307snssd 4175 . . . . . . . . 9
31 ssconb 3636 . . . . . . . . 9
321, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . 8
3329, 32mpbird 232 . . . . . . 7
34 difssd 3631 . . . . . . 7
358rpnnen2lem7 13954 . . . . . . 7
3633, 34, 7, 35syl3anc 1228 . . . . . 6
378rpnnen2lem9 13956 . . . . . . . 8
387, 37syl 16 . . . . . . 7
3913recni 9629 . . . . . . . . . . . 12
40 expp1 12173 . . . . . . . . . . . 12
4139, 14, 40sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
4225recnd 9643 . . . . . . . . . . . 12
43 3cn 10635 . . . . . . . . . . . . 13
44 3ne0 10655 . . . . . . . . . . . . 13
45 divrec 10248 . . . . . . . . . . . . 13
4643, 44, 45mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12
4742, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11
4841, 47eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10
4948oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
50 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . 13
5143, 44pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13
52 divsubdir 10265 . . . . . . . . . . . . 13
5343, 50, 51, 52mp3an 1324 . . . . . . . . . . . 12
54 3m1e2 10677 . . . . . . . . . . . . 13
5554oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12
5643, 44dividi 10302 . . . . . . . . . . . . 13
5756oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12
5853, 55, 573eqtr3ri 2495 . . . . . . . . . . 11
5958oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10
60 2cnne0 10775 . . . . . . . . . . . 12
61 divcan7 10278 . . . . . . . . . . . 12
6260, 51, 61mp3an23 1316 . . . . . . . . . . 11
6342, 62syl 16 . . . . . . . . . 10
6459, 63syl5eq 2510 . . . . . . . . 9
6549, 64eqtrd 2498 . . . . . . . 8
6665oveq2d 6312 . . . . . . 7
6726recnd 9643 . . . . . . . 8
6867addid2d 9802 . . . . . . 7
6938, 66, 683eqtrd 2502 . . . . . 6
7036, 69breqtrd 4476 . . . . 5
71 rphalflt 11275 . . . . . 6
7224, 71syl 16 . . . . 5
7310, 26, 25, 70, 72lelttrd 9761 . . . 4
74 eluznn 11181 . . . . . . . . 9
757, 74sylan 471 . . . . . . . 8
768rpnnen2lem1 13948 . . . . . . . . 9
7730, 76sylan 471 . . . . . . . 8
7875, 77syldan 470 . . . . . . 7
7978sumeq2dv 13525 . . . . . 6
80 uzid 11124 . . . . . . . . 9
8122, 80syl 16 . . . . . . . 8
8281snssd 4175 . . . . . . 7
83 vex 3112 . . . . . . . . 9
84 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
8584eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
8683, 85ralsn 4068 . . . . . . . 8
8742, 86sylibr 212 . . . . . . 7
88 ssid 3522 . . . . . . . . 9
8988a1i 11 . . . . . . . 8
9089orcd 392 . . . . . . 7
91 sumss2 13548 . . . . . . 7
9282, 87, 90, 91syl21anc 1227 . . . . . 6
9384sumsn 13563 . . . . . . 7
947, 42, 93syl2anc 661 . . . . . 6
9579, 92, 943eqtr2d 2504 . . . . 5
963, 4syl 16 . . . . . . 7
9796snssd 4175 . . . . . 6
988rpnnen2lem7 13954 . . . . . 6
9997, 2, 7, 98syl3anc 1228 . . . . 5
10095, 99eqbrtrrd 4474 . . . 4
10110, 16, 18, 73, 100ltletrd 9763 . . 3
10210, 101gtned 9741 . 2
103 rpnnen2.5 . . . . 5
104 rpnnen2.6 . . . . 5
1058, 2, 1, 3, 103, 104rpnnen2lem10 13957 . . . 4
106105ex 434 . . 3
107106necon3ad 2667 . 2
108102, 107mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  \cdif 3472  C_wss 3475  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610  3c3 10611   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cexp 12166  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  rpnnen2  13959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator