Theorem rpreccld 11295

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1

Assertion

Ref	Expression
rpreccld

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2
2		rpreccl 11272	. 2
3	1, 2	syl 16	1

Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  1c1 9514  cdiv 10231  crp 11249

This theorem is referenced by:  rprecred  11296  resqrex  13084  rlimno1  13476  supcvg  13667  harmonic  13670  expcnv  13675  eirrlem  13937  prmreclem5  14438  prmreclem6  14439  met1stc  21024  met2ndci  21025  nmoi2  21237  bcthlem5  21767  ovolsca  21926  vitali  22022  ismbf3d  22061  itg2seq  22149  itg2mulclem  22153  itg2mulc  22154  aalioulem3  22730  aaliou3lem8  22741  dvradcnv  22816  tanregt0  22926  divlogrlim  23016  advlogexp  23036  logtayllem  23040  divcxp  23068  cxpcn3lem  23121  loglesqrt  23132  ang180lem2  23142  asinlem3  23202  leibpi  23273  rlimcnp2  23296  efrlim  23299  cxplim  23301  cxp2lim  23306  divsqrtsumlem  23309  amgmlem  23319  emcllem2  23326  emcllem4  23328  emcllem5  23329  emcllem6  23330  fsumharmonic  23341  basellem3  23356  basellem6  23359  logfaclbnd  23497  bclbnd  23555  rplogsumlem2  23670  rpvmasumlem  23672  dchrisum0lem2a  23702  log2sumbnd  23729  logdivbnd  23741  pntlemo  23792  smcnlem  25607  minvecolem3  25792  minvecolem4  25796  logbrec  28021  esumdivc  28089  dya2ub  28241  lgamgulmlem5  28575  lgambdd  28579  iprodgam  29125  faclimlem1  29168  faclimlem3  29170  faclim  29171  iprodfac  29172  heiborlem3  30309  heiborlem6  30312  heiborlem8  30314  heibor  30317  irrapxlem4  30761  irrapxlem5  30762  oddfl  31459  ioodvbdlimc1lem2  31729  ioodvbdlimc2lem  31731  stoweid  31845  wallispi  31852  stirlinglem1  31856  stirlinglem6  31861  stirlinglem10  31865  stirlinglem11  31866  dirkertrigeqlem3  31882  dirkercncflem2  31886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-rp 11250