MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem1 Unicode version

Theorem ruclem1 13964
Description: Lemma for ruc 13976 (the reals are uncountable). Substitutions for the function . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.) (Revised by Fan Zheng, 6-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1
ruc.2
ruclem1.3
ruclem1.4
ruclem1.5
ruclem1.6
ruclem1.7
Assertion
Ref Expression
ruclem1
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   , , ,   ,M, ,

Proof of Theorem ruclem1
StepHypRef Expression
1 ruc.2 . . . . . 6
21oveqd 6313 . . . . 5
3 ruclem1.3 . . . . . . 7
4 ruclem1.4 . . . . . . 7
5 opelxpi 5036 . . . . . . 7
63, 4, 5syl2anc 661 . . . . . 6
7 ruclem1.5 . . . . . 6
8 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
98breq2d 4464 . . . . . . . . . 10
10 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
1110fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
1211opeq1d 4223 . . . . . . . . . 10
1310fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
1413oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
1514oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
1615, 13opeq12d 4225 . . . . . . . . . 10
179, 12, 16ifbieq12d 3968 . . . . . . . . 9
1817csbeq2dv 3835 . . . . . . . 8
1911, 13oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
2019oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
2120csbeq1d 3441 . . . . . . . 8
2218, 21eqtrd 2498 . . . . . . 7
23 eqid 2457 . . . . . . 7
24 opex 4716 . . . . . . . . 9
25 opex 4716 . . . . . . . . 9
2624, 25ifex 4010 . . . . . . . 8
2726csbex 4585 . . . . . . 7
2822, 23, 27ovmpt2a 6433 . . . . . 6
296, 7, 28syl2anc 661 . . . . 5
302, 29eqtrd 2498 . . . 4
31 op1stg 6812 . . . . . . . . 9
323, 4, 31syl2anc 661 . . . . . . . 8
33 op2ndg 6813 . . . . . . . . 9
343, 4, 33syl2anc 661 . . . . . . . 8
3532, 34oveq12d 6314 . . . . . . 7
3635oveq1d 6311 . . . . . 6
3736csbeq1d 3441 . . . . 5
38 ovex 6324 . . . . . . 7
39 breq1 4455 . . . . . . . 8
40 opeq2 4218 . . . . . . . 8
41 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
4241oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
4342opeq1d 4223 . . . . . . . 8
4439, 40, 43ifbieq12d 3968 . . . . . . 7
4538, 44csbie 3460 . . . . . 6
4632opeq1d 4223 . . . . . . 7
4734oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
4847oveq1d 6311 . . . . . . . 8
4948, 34opeq12d 4225 . . . . . . 7
5046, 49ifeq12d 3961 . . . . . 6
5145, 50syl5eq 2510 . . . . 5
5237, 51eqtrd 2498 . . . 4
5330, 52eqtrd 2498 . . 3
543, 4readdcld 9644 . . . . . 6
5554rehalfcld 10810 . . . . 5
56 opelxpi 5036 . . . . 5
573, 55, 56syl2anc 661 . . . 4
5855, 4readdcld 9644 . . . . . 6
5958rehalfcld 10810 . . . . 5
60 opelxpi 5036 . . . . 5
6159, 4, 60syl2anc 661 . . . 4
6257, 61ifcld 3984 . . 3
6353, 62eqeltrd 2545 . 2
64 ruclem1.6 . . 3
6553fveq2d 5875 . . . 4
66 fvif 5882 . . . . 5
67 op1stg 6812 . . . . . . 7
683, 38, 67sylancl 662 . . . . . 6
69 ovex 6324 . . . . . . 7
70 op1stg 6812 . . . . . . 7
7169, 4, 70sylancr 663 . . . . . 6
7268, 71ifeq12d 3961 . . . . 5
7366, 72syl5eq 2510 . . . 4
7465, 73eqtrd 2498 . . 3
7564, 74syl5eq 2510 . 2
76 ruclem1.7 . . 3
7753fveq2d 5875 . . . 4
78 fvif 5882 . . . . 5
79 op2ndg 6813 . . . . . . 7
803, 38, 79sylancl 662 . . . . . 6
81 op2ndg 6813 . . . . . . 7
8269, 4, 81sylancr 663 . . . . . 6
8380, 82ifeq12d 3961 . . . . 5
8478, 83syl5eq 2510 . . . 4
8577, 84eqtrd 2498 . . 3
8676, 85syl5eq 2510 . 2
8763, 75, 863jca 1176 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  [_csb 3434  ifcif 3941  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1st 6798   c2nd 6799   cr 9512   caddc 9516   clt 9649   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610
This theorem is referenced by:  ruclem2  13965  ruclem3  13966  ruclem6  13968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-2 10619
  Copyright terms: Public domain W3C validator