Theorem ruclem12 13974

Description: Lemma for ruc 13976. The supremum of the increasing sequence o. is a real number that is not in the range of . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1
ruc.2
ruc.4
ruc.5
ruc.6

Assertion

Ref	Expression
ruclem12

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem ruclem12

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruc.6	. . 3
2		ruc.1	. . . . . 6
3		ruc.2	. . . . . 6
4		ruc.4	. . . . . 6
5		ruc.5	. . . . . 6
6	2, 3, 4, 5	ruclem11 13973	. . . . 5
7	6	simp1d 1008	. . . 4
8	6	simp2d 1009	. . . 4
9		1re 9616	. . . . 5
10	6	simp3d 1010	. . . . 5
11		breq2 4456	. . . . . . 7
12	11	ralbidv 2896	. . . . . 6
13	12	rspcev 3210	. . . . 5
14	9, 10, 13	sylancr 663	. . . 4
15		suprcl 10528	. . . 4
16	7, 8, 14, 15	syl3anc 1228	. . 3
17	1, 16	syl5eqel 2549	. 2
18	2	adantr 465	. . . . . . . . 9
19	3	adantr 465	. . . . . . . . 9
20	2, 3, 4, 5	ruclem6 13968	. . . . . . . . . . 11
21		nnm1nn0 10862	. . . . . . . . . . 11
22		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . 11
23	20, 21, 22	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
24		xp1st 6830	. . . . . . . . . 10
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . 9
26		xp2nd 6831	. . . . . . . . . 10
27	23, 26	syl 16	. . . . . . . . 9
28	2	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . 9
29		eqid 2457	. . . . . . . . 9
30		eqid 2457	. . . . . . . . 9
31	2, 3, 4, 5	ruclem8 13970	. . . . . . . . . 10
32	21, 31	sylan2 474	. . . . . . . . 9
33	18, 19, 25, 27, 28, 29, 30, 32	ruclem3 13966	. . . . . . . 8
34	2, 3, 4, 5	ruclem7 13969	. . . . . . . . . . . . 13
35	21, 34	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12
36		nncn 10569	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
38		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . . . . 14
39		npcan 9852	. . . . . . . . . . . . . 14
40	37, 38, 39	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13
41	40	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . 12
42		1st2nd2 6837	. . . . . . . . . . . . . 14
43	23, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
44	40	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . 13
45	43, 44	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . 12
46	35, 41, 45	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . . . 11
47	46	fveq2d 5875	. . . . . . . . . 10
48	47	breq2d 4464	. . . . . . . . 9
49	46	fveq2d 5875	. . . . . . . . . 10
50	49	breq1d 4462	. . . . . . . . 9
51	48, 50	orbi12d 709	. . . . . . . 8
52	33, 51	mpbird 232	. . . . . . 7
53	7	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
54	8	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
55	14	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
56		nnnn0 10827	. . . . . . . . . . . . 13
57		fvco3 5950	. . . . . . . . . . . . 13
58	20, 56, 57	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12
59	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
60		1stcof 6828	. . . . . . . . . . . . . 14
61		ffn 5736	. . . . . . . . . . . . . 14
62	59, 60, 61	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13
63	56	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
64		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . . . . . 13
65	62, 63, 64	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
66	58, 65	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . . 11
67		suprub 10529	. . . . . . . . . . 11
68	53, 54, 55, 66, 67	syl31anc 1231	. . . . . . . . . 10
69	68, 1	syl6breqr 4492	. . . . . . . . 9
70		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . . 12
71	20, 56, 70	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
72		xp1st 6830	. . . . . . . . . . 11
73	71, 72	syl 16	. . . . . . . . . 10
74	17	adantr 465	. . . . . . . . . 10
75		ltletr 9697	. . . . . . . . . 10
76	28, 73, 74, 75	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
77	69, 76	mpan2d 674	. . . . . . . 8
78		fvco3 5950	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	59, 78	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14
80	59	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . . . . . . . 16
81		xp1st 6830	. . . . . . . . . . . . . . . 16
82	80, 81	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
83		xp2nd 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
84	71, 83	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
85	84	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
86	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
87	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
88		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
90	86, 87, 4, 5, 88, 89	ruclem10 13972	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	82, 85, 90	ltled 9754	. . . . . . . . . . . . . 14
92	79, 91	eqbrtrd 4472	. . . . . . . . . . . . 13
93	92	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12
94		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . 14
95	94	ralrn 6034	. . . . . . . . . . . . 13
96	62, 95	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
97	93, 96	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11
98		suprleub 10532	. . . . . . . . . . . 12
99	53, 54, 55, 84, 98	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . 11
100	97, 99	mpbird 232	. . . . . . . . . 10
101	1, 100	syl5eqbr 4485	. . . . . . . . 9
102		lelttr 9696	. . . . . . . . . 10
103	74, 84, 28, 102	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
104	101, 103	mpand 675	. . . . . . . 8
105	77, 104	orim12d 838	. . . . . . 7
106	52, 105	mpd 15	. . . . . 6
107	28, 74	lttri2d 9745	. . . . . 6
108	106, 107	mpbird 232	. . . . 5
109	108	neneqd 2659	. . . 4
110	109	nrexdv 2913	. . 3
111		risset 2982	. . . 4
112		ffn 5736	. . . . 5
113		eqeq1 2461	. . . . . 6
114	113	rexrn 6033	. . . . 5
115	2, 112, 114	3syl 20	. . . 4
116	111, 115	syl5bb 257	. . 3
117	110, 116	mtbird 301	. 2
118	17, 117	eldifd 3486	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  [_csb 3434  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  rancrn 5005  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  c1st 6798  c2nd 6799  supcsup 7920  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  seqcseq 12107

This theorem is referenced by:  ruclem13  13975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108