Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem2 Unicode version

Theorem ruclem2 13965
 Description: Lemma for ruc 13976. Ordering property for the input to . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1
ruc.2
ruclem1.3
ruclem1.4
ruclem1.5
ruclem1.6
ruclem1.7
ruclem2.8
Assertion
Ref Expression
ruclem2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,M,,

Proof of Theorem ruclem2
StepHypRef Expression
1 ruclem1.3 . . . . 5
21leidd 10144 . . . 4
3 ruclem1.4 . . . . . . . . 9
41, 3readdcld 9644 . . . . . . . 8
54rehalfcld 10810 . . . . . . 7
65, 3readdcld 9644 . . . . . 6
76rehalfcld 10810 . . . . 5
8 ruclem2.8 . . . . . . 7
9 avglt1 10801 . . . . . . . 8
101, 3, 9syl2anc 661 . . . . . . 7
118, 10mpbid 210 . . . . . 6
12 avglt2 10802 . . . . . . . . 9
131, 3, 12syl2anc 661 . . . . . . . 8
148, 13mpbid 210 . . . . . . 7
15 avglt1 10801 . . . . . . . 8
165, 3, 15syl2anc 661 . . . . . . 7
1714, 16mpbid 210 . . . . . 6
181, 5, 7, 11, 17lttrd 9764 . . . . 5
191, 7, 18ltled 9754 . . . 4
20 breq2 4456 . . . . 5
21 breq2 4456 . . . . 5
2220, 21ifboth 3977 . . . 4
232, 19, 22syl2anc 661 . . 3
24 ruc.1 . . . . 5
25 ruc.2 . . . . 5
26 ruclem1.5 . . . . 5
27 ruclem1.6 . . . . 5
28 ruclem1.7 . . . . 5
2924, 25, 1, 3, 26, 27, 28ruclem1 13964 . . . 4
3029simp2d 1009 . . 3
3123, 30breqtrrd 4478 . 2
32 iftrue 3947 . . . . . 6
33 iftrue 3947 . . . . . 6
3432, 33breq12d 4465 . . . . 5
3511, 34syl5ibrcom 222 . . . 4
36 avglt2 10802 . . . . . . 7
375, 3, 36syl2anc 661 . . . . . 6
3814, 37mpbid 210 . . . . 5
39 iffalse 3950 . . . . . 6
40 iffalse 3950 . . . . . 6
4139, 40breq12d 4465 . . . . 5
4238, 41syl5ibrcom 222 . . . 4
4335, 42pm2.61d 158 . . 3
4429simp3d 1010 . . 3
4543, 30, 443brtr4d 4482 . 2
465, 3, 14ltled 9754 . . . 4
473leidd 10144 . . . 4
48 breq1 4455 . . . . 5
49 breq1 4455 . . . . 5
5048, 49ifboth 3977 . . . 4
5146, 47, 50syl2anc 661 . . 3
5244, 51eqbrtrd 4472 . 2
5331, 45, 523jca 1176 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  [_csb 3434  ifcif 3941  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1st 6798   c2nd 6799   cr 9512   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cdiv 10231   cn 10561  2`c2 10610 This theorem is referenced by:  ruclem8  13970  ruclem9  13971 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-2 10619
 Copyright terms: Public domain W3C validator