Theorem ruclem2 13965

Description: Lemma for ruc 13976. Ordering property for the input to . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1
ruc.2
ruclem1.3
ruclem1.4
ruclem1.5
ruclem1.6
ruclem1.7
ruclem2.8

Assertion

Ref	Expression
ruclem2

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,M,,

Proof of Theorem ruclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem1.3	. . . . 5
2	1	leidd 10144	. . . 4
3		ruclem1.4	. . . . . . . . 9
4	1, 3	readdcld 9644	. . . . . . . 8
5	4	rehalfcld 10810	. . . . . . 7
6	5, 3	readdcld 9644	. . . . . 6
7	6	rehalfcld 10810	. . . . 5
8		ruclem2.8	. . . . . . 7
9		avglt1 10801	. . . . . . . 8
10	1, 3, 9	syl2anc 661	. . . . . . 7
11	8, 10	mpbid 210	. . . . . 6
12		avglt2 10802	. . . . . . . . 9
13	1, 3, 12	syl2anc 661	. . . . . . . 8
14	8, 13	mpbid 210	. . . . . . 7
15		avglt1 10801	. . . . . . . 8
16	5, 3, 15	syl2anc 661	. . . . . . 7
17	14, 16	mpbid 210	. . . . . 6
18	1, 5, 7, 11, 17	lttrd 9764	. . . . 5
19	1, 7, 18	ltled 9754	. . . 4
20		breq2 4456	. . . . 5
21		breq2 4456	. . . . 5
22	20, 21	ifboth 3977	. . . 4
23	2, 19, 22	syl2anc 661	. . 3
24		ruc.1	. . . . 5
25		ruc.2	. . . . 5
26		ruclem1.5	. . . . 5
27		ruclem1.6	. . . . 5
28		ruclem1.7	. . . . 5
29	24, 25, 1, 3, 26, 27, 28	ruclem1 13964	. . . 4
30	29	simp2d 1009	. . 3
31	23, 30	breqtrrd 4478	. 2
32		iftrue 3947	. . . . . 6
33		iftrue 3947	. . . . . 6
34	32, 33	breq12d 4465	. . . . 5
35	11, 34	syl5ibrcom 222	. . . 4
36		avglt2 10802	. . . . . . 7
37	5, 3, 36	syl2anc 661	. . . . . 6
38	14, 37	mpbid 210	. . . . 5
39		iffalse 3950	. . . . . 6
40		iffalse 3950	. . . . . 6
41	39, 40	breq12d 4465	. . . . 5
42	38, 41	syl5ibrcom 222	. . . 4
43	35, 42	pm2.61d 158	. . 3
44	29	simp3d 1010	. . 3
45	43, 30, 44	3brtr4d 4482	. 2
46	5, 3, 14	ltled 9754	. . . 4
47	3	leidd 10144	. . . 4
48		breq1 4455	. . . . 5
49		breq1 4455	. . . . 5
50	48, 49	ifboth 3977	. . . 4
51	46, 47, 50	syl2anc 661	. . 3
52	44, 51	eqbrtrd 4472	. 2
53	31, 45, 52	3jca 1176	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  [_csb 3434  ifcif 3941  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  c1st 6798  c2nd 6799  cr 9512  caddc 9516  clt 9649  cle 9650  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610

This theorem is referenced by:  ruclem8  13970  ruclem9  13971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-2 10619