Theorem ruclem9 13971

Description: Lemma for ruc 13976. The first components of the sequence are increasing, and the second components are decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1
ruc.2
ruc.4
ruc.5
ruclem9.6
ruclem9.7

Assertion

Ref	Expression
ruclem9

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,M,,   ,N,,

Proof of Theorem ruclem9

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem9.7	. 2
2		fveq2 5871	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 5875	. . . . . 6
4	3	breq2d 4464	. . . . 5
5	2	fveq2d 5875	. . . . . 6
6	5	breq1d 4462	. . . . 5
7	4, 6	anbi12d 710	. . . 4
8	7	imbi2d 316	. . 3
9		fveq2 5871	. . . . . . 7
10	9	fveq2d 5875	. . . . . 6
11	10	breq2d 4464	. . . . 5
12	9	fveq2d 5875	. . . . . 6
13	12	breq1d 4462	. . . . 5
14	11, 13	anbi12d 710	. . . 4
15	14	imbi2d 316	. . 3
16		fveq2 5871	. . . . . . 7
17	16	fveq2d 5875	. . . . . 6
18	17	breq2d 4464	. . . . 5
19	16	fveq2d 5875	. . . . . 6
20	19	breq1d 4462	. . . . 5
21	18, 20	anbi12d 710	. . . 4
22	21	imbi2d 316	. . 3
23		fveq2 5871	. . . . . . 7
24	23	fveq2d 5875	. . . . . 6
25	24	breq2d 4464	. . . . 5
26	23	fveq2d 5875	. . . . . 6
27	26	breq1d 4462	. . . . 5
28	25, 27	anbi12d 710	. . . 4
29	28	imbi2d 316	. . 3
30		ruc.1	. . . . . . . . 9
31		ruc.2	. . . . . . . . 9
32		ruc.4	. . . . . . . . 9
33		ruc.5	. . . . . . . . 9
34	30, 31, 32, 33	ruclem6 13968	. . . . . . . 8
35		ruclem9.6	. . . . . . . 8
36	34, 35	ffvelrnd 6032	. . . . . . 7
37		xp1st 6830	. . . . . . 7
38	36, 37	syl 16	. . . . . 6
39	38	leidd 10144	. . . . 5
40		xp2nd 6831	. . . . . . 7
41	36, 40	syl 16	. . . . . 6
42	41	leidd 10144	. . . . 5
43	39, 42	jca 532	. . . 4
44	43	a1i 11	. . 3
45	30	adantr 465	. . . . . . . . . 10
46	31	adantr 465	. . . . . . . . . 10
47	34	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
48		eluznn0 11180	. . . . . . . . . . . . 13
49	35, 48	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12
50	47, 49	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . 11
51		xp1st 6830	. . . . . . . . . . 11
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . . 10
53		xp2nd 6831	. . . . . . . . . . 11
54	50, 53	syl 16	. . . . . . . . . 10
55		nn0p1nn 10860	. . . . . . . . . . . 12
56	49, 55	syl 16	. . . . . . . . . . 11
57	45, 56	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . 10
58		eqid 2457	. . . . . . . . . 10
59		eqid 2457	. . . . . . . . . 10
60	30, 31, 32, 33	ruclem8 13970	. . . . . . . . . . 11
61	49, 60	syldan 470	. . . . . . . . . 10
62	45, 46, 52, 54, 57, 58, 59, 61	ruclem2 13965	. . . . . . . . 9
63	62	simp1d 1008	. . . . . . . 8
64	30, 31, 32, 33	ruclem7 13969	. . . . . . . . . . 11
65	49, 64	syldan 470	. . . . . . . . . 10
66		1st2nd2 6837	. . . . . . . . . . . 12
67	50, 66	syl 16	. . . . . . . . . . 11
68	67	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10
69	65, 68	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9
70	69	fveq2d 5875	. . . . . . . 8
71	63, 70	breqtrrd 4478	. . . . . . 7
72	38	adantr 465	. . . . . . . 8
73		peano2nn0 10861	. . . . . . . . . . 11
74	49, 73	syl 16	. . . . . . . . . 10
75	47, 74	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . 9
76		xp1st 6830	. . . . . . . . 9
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . 8
78		letr 9699	. . . . . . . 8
79	72, 52, 77, 78	syl3anc 1228	. . . . . . 7
80	71, 79	mpan2d 674	. . . . . 6
81	69	fveq2d 5875	. . . . . . . 8
82	62	simp3d 1010	. . . . . . . 8
83	81, 82	eqbrtrd 4472	. . . . . . 7
84		xp2nd 6831	. . . . . . . . 9
85	75, 84	syl 16	. . . . . . . 8
86	41	adantr 465	. . . . . . . 8
87		letr 9699	. . . . . . . 8
88	85, 54, 86, 87	syl3anc 1228	. . . . . . 7
89	83, 88	mpand 675	. . . . . 6
90	80, 89	anim12d 563	. . . . 5
91	90	expcom 435	. . . 4
92	91	a2d 26	. . 3
93	8, 15, 22, 29, 44, 92	uzind4 11168	. 2
94	1, 93	mpcom 36	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  [_csb 3434  u.cun 3473  ifcif 3941  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  c1st 6798  c2nd 6799  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cle 9650  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  seqcseq 12107

This theorem is referenced by:  ruclem10  13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108