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Theorem rusgra0edg 30695
Description: Special case for graphs without edges: There are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgranumwlk.w
rusgranumwlk.l
Assertion
Ref Expression
rusgra0edg
Distinct variable groups:   , ,   N, ,   , ,   ,N,   P, , ,   ,   , , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem rusgra0edg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 30670 . . 3
2 id 22 . . 3
3 nnnn0 10671 . . 3
4 rusgranumwlk.w . . . 4
5 rusgranumwlk.l . . . 4
64, 5rusgranumwlklem4 30692 . . 3
71, 2, 3, 6syl3an 1261 . 2
8 df-rab 2801 . . . . 5
9 usgrav 23389 . . . . . . . . . . . . . 14
101, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
1110, 3anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12
12113adant2 1007 . . . . . . . . . . 11
13 df-3an 967 . . . . . . . . . . 11
1412, 13sylibr 212 . . . . . . . . . 10
15 iswwlkn 30440 . . . . . . . . . . 11
16 iswwlk 30439 . . . . . . . . . . . . 13
17163adant3 1008 . . . . . . . . . . . 12
1817anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11
1915, 18bitrd 253 . . . . . . . . . 10
2014, 19syl 16 . . . . . . . . 9
2120anbi1d 704 . . . . . . . 8
22 oveq1 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 nncn 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
24 ax-1cn 9425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2623, 25pncand 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27263ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2822, 27sylan9eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928oveq2d 6190 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029raleqdv 3003 . . . . . . . . . . . . . 14
31 rusgrargra 30669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 0eusgraiff0rgra 30674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 rneq 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
34 rn0 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3533, 34syl6eq 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3635eleq2d 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
37 noel 3723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3837bifal 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4036, 39bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4241ralbidv 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
43 fal 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4443ralf0 3868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
46 0nn0 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
49 nngt0 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5047, 48, 493jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5150ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
52 elfzo0 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5351, 52sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
54 fzon0 11654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5553, 54sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5655neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
57 nbfal 1381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5856, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5942, 45, 583bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6059ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6132, 60syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
621, 31, 61sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63623impib 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6530, 64bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13
66653anbi3d 1296 . . . . . . . . . . . 12
67 df-3an 967 . . . . . . . . . . . . . 14
68 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . 14
6967, 68bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
7166, 70bitrd 253 . . . . . . . . . . 11
7271ex 434 . . . . . . . . . 10
7372pm5.32rd 640 . . . . . . . . 9
7473anbi1d 704 . . . . . . . 8
75 anass 649 . . . . . . . . . 10
76 anass 649 . . . . . . . . . . 11
7743intnanr 906 . . . . . . . . . . . 12
7877bifal 1383 . . . . . . . . . . 11
7976, 78bitri 249 . . . . . . . . . 10
8075, 79bitri 249 . . . . . . . . 9
8180a1i 11 . . . . . . . 8
8221, 74, 813bitrd 279 . . . . . . 7
8382abbidv 2584 . . . . . 6
8443abf 3753 . . . . . 6
8583, 84syl6eq 2506 . . . . 5
868, 85syl5eq 2502 . . . 4
8786fveq2d 5777 . . 3
88 hash0 12220 . . 3
8987, 88syl6eq 2506 . 2
907, 89eqtrd 2490 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370   wfal 1375  e.wcel 1757  {cab 2435  =/=wne 2641  A.wral 2792  {crab 2796   cvv 3052   c0 3719  {cpr 3961  <.cop 3965   class class class wbr 4374  e.cmpt 4432  rancrn 4923  `cfv 5500  (class class class)co 6174  e.cmpt2 6176   c1st 6659   c2nd 6660   cc 9365  0cc0 9367  1c1 9368   caddc 9370   clt 9503   cmin 9680   cn 10407   cn0 10664   cfzo 11633   chash 12188  Wordcword 12307   cusg 23383   cwalk 23524   cwwlk 30433   cwwlkn 30434   crgra 30661   crusgra 30662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4485  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456  ax-cnex 9423  ax-resscn 9424  ax-1cn 9425  ax-icn 9426  ax-addcl 9427  ax-addrcl 9428  ax-mulcl 9429  ax-mulrcl 9430  ax-mulcom 9431  ax-addass 9432  ax-mulass 9433  ax-distr 9434  ax-i2m1 9435  ax-1ne0 9436  ax-1rid 9437  ax-rnegex 9438  ax-rrecex 9439  ax-cnre 9440  ax-pre-lttri 9441  ax-pre-lttrn 9442  ax-pre-ltadd 9443  ax-pre-mulgt0 9444
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pss 3426  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-int 4211  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4468  df-eprel 4714  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-fr 4761  df-we 4763  df-ord 4804  df-on 4805  df-lim 4806  df-suc 4807  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-riota 6135  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-om 6561  df-1st 6661  df-2nd 6662  df-recs 6916  df-rdg 6950  df-1o 7004  df-2o 7005  df-oadd 7008  df-er 7185  df-map 7300  df-pm 7301  df-en 7395  df-dom 7396  df-sdom 7397  df-fin 7398  df-card 8194  df-cda 8422  df-pnf 9505  df-mnf 9506  df-xr 9507  df-ltxr 9508  df-le 9509  df-sub 9682  df-neg 9683  df-nn 10408  df-2 10465  df-n0 10665  df-z 10732  df-uz 10947  df-xadd 11175  df-fz 11523  df-fzo 11634  df-hash 12189  df-word 12315  df-usgra 23385  df-wlk 23534  df-vdgr 23683  df-wwlk 30435  df-wwlkn 30436  df-rgra 30663  df-rusgra 30664
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